O campo vetorial
é conservativo ? Justifique (não precisa explicitar a função potencial
).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido por
A pergunta é:
é conservativo? É pedido que eu justifique a resposta, mas não é necessário explicitar a função potencial.
Informações relevantes fornecidas:
O domínio do campo é
(todo o plano).
Passo 2
O que significa “conservativo” (explicação didática e curta): um campo vetorial
é conservativo quando existe uma função potencial
tal que
Uma consequência prática muito usada em prova: se
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo (como
), então
é conservativo se, e somente se, as derivadas parciais mistas coincidirem:
Explicando termos:
-
significa derivar em relação a , tratando como constante. -
significa derivar em relação a , tratando como constante. - “Derivadas parciais contínuas” quer dizer que essas funções derivadas não têm saltos nem singularidades — no caso de polinômios isso é garantido.
No exame, esse é o teste mais prático: identificar
e
, calcular
e
e comparar.
Passo 3
Identifico as componentes:
Vou calcular as derivadas parciais necessárias de maneira bem explícita.
Passo 4
Calculemos
. Partindo de
:
- Tratando
como constante, a derivada de em relação a é , porque a derivada de é e fica como fator multiplicativo.
Logo:
Passo 5
Calculemos
. Partindo de
:
- Tratando
como constante (na verdade não depende de ), a derivada de em relação a é .
Logo:
Passo 6
Compare as duas derivadas parciais:
Elas são idênticas para todo
.
Além disso, as derivadas parciais usadas são polinômios (daí contínuas) e o domínio é
, que é aberto e simplesmente conexo. Portanto, todas as hipóteses do teste estão satisfeitas.
Passo 7
Conclusão lógica (explicando o porquê serve na prova): pelo teorema (condição suficiente e necessária em domínios simplesmente conexos), como
em todo
e as derivadas parciais são contínuas, o campo
é conservativo. Em uma prova você pode usar exatamente este conjunto de passos: identificar
, calcular as duas mistas, verificar igualdade e checar que o domínio é simplesmente conexo (se for o plano, já está ok).
Um exemplo rápido de contraste (para fixar): o campo
tem
e
, não são iguais, logo não é conservativo.
Resposta
Sim.