O campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{F}(x, y)=\left(2 . x . y, x^{2}\right) é conservativo ? Justifique (não precisa explicitar a função potencial f ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
\vec{F}(x,y)=\bigl(2\cdot x\cdot y,\; x^{2}\bigr).
A pergunta é: \vec{F} é conservativo? É pedido que eu justifique a resposta, mas não é necessário explicitar a função potencial.
Informações relevantes fornecidas:
\vec{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)\quad\text{com}\quad P(x,y)=2xy,\; Q(x,y)=x^{2}.
O domínio do campo é \mathbb{R}^{2} (todo o plano).

Passo 2

O que significa “conservativo” (explicação didática e curta): um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) é conservativo quando existe uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
Uma consequência prática muito usada em prova: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^{2}), então \vec{F} é conservativo se, e somente se, as derivadas parciais mistas coincidirem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Explicando termos:
  • \frac{\partial P}{\partial y} significa derivar P em relação a y, tratando x como constante.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} significa derivar Q em relação a x, tratando y como constante.
  • “Derivadas parciais contínuas” quer dizer que essas funções derivadas não têm saltos nem singularidades — no caso de polinômios isso é garantido.
No exame, esse é o teste mais prático: identificar P e Q, calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x e comparar.

Passo 3

Identifico as componentes:
P(x,y)=2xy,\qquad Q(x,y)=x^{2}.
Vou calcular as derivadas parciais necessárias de maneira bem explícita.

Passo 4

Calculemos \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Partindo de P(x,y)=2xy:
  • Tratando x como constante, a derivada de 2x\cdot y em relação a y é 2x, porque a derivada de y é 1 e 2x fica como fator multiplicativo.
    Logo:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x.

Passo 5

Calculemos \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Partindo de Q(x,y)=x^{2}:
  • Tratando y como constante (na verdade Q não depende de y), a derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
    Logo:
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=2x.

Passo 6

Compare as duas derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=2x.
Elas são idênticas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Além disso, as derivadas parciais usadas são polinômios (daí contínuas) e o domínio é \mathbb{R}^{2}, que é aberto e simplesmente conexo. Portanto, todas as hipóteses do teste estão satisfeitas.

Passo 7

Conclusão lógica (explicando o porquê serve na prova): pelo teorema (condição suficiente e necessária em domínios simplesmente conexos), como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^{2} e as derivadas parciais são contínuas, o campo \vec{F} é conservativo. Em uma prova você pode usar exatamente este conjunto de passos: identificar P,Q, calcular as duas mistas, verificar igualdade e checar que o domínio é simplesmente conexo (se for o plano, já está ok).
Um exemplo rápido de contraste (para fixar): o campo \bigl(-y,\;x\bigr) tem \partial P/\partial y=-1 e \partial Q/\partial x=1, não são iguais, logo não é conservativo.

Resposta

Sim.

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