Para o campo vetorial
, calcule as operações diferenciais
e
. Note que é um problema a ser tratado em coordenadas esféricas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá (tudo o que importa):
- Pedem para calcular as operações diferenciais
(divergente) e (rotacional) do campo vetorial dado. - O campo vetorial é
. - Está explícito que devemos trabalhar em coordenadas esféricas; portanto as variáveis independentes são
(raio), (ângulo polar, medido desde o eixo ) e (ângulo azimutal). - Informações extraídas do enunciado que usaremos diretamente:
- Componente radial
. - Componentes polar e azimutal são nulas:
e .
- Componente radial
- Perguntas a responder:
- Calcular
. - Calcular
.
- Calcular
Passo 2
Noções e fórmulas em coordenadas esféricas (mini-aula):
- Em coordenadas esféricas o vetor geral escrito nas componentes locais é
Aqui dependem em geral de . - A fórmula do divergente em coordenadas esféricas é
Explicando cada termo: -
captura variação radial ajustada pela área de uma esfera de raio . -
vem da variação na direção polar ( ), com o fator que aparece por causa das linhas de latitude. -
é a variação azimutal.
-
- A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (componentes nas direções unitárias) é
Explicando brevemente: - Cada componente do rotacional envolve derivadas cruzadas entre as componentes do campo, adaptadas pela geometria esférica (fatores
e ).]
- Cada componente do rotacional envolve derivadas cruzadas entre as componentes do campo, adaptadas pela geometria esférica (fatores
Passo 3
Aplicando a fórmula do divergente ao nosso campo:
- Identificamos
, , . - Substituindo na fórmula
- Os dois últimos termos são zero porque
. Então resta - Agora calculamos a derivada parcial em
. Trate como constante ao derivar em relação a : - Dividindo por
temos - Resultado: o divergente é independente de
e vale .
Passo 4
Preparação para calcular o rotacional (mini-aula aplicada):
- Como
e , muitas parcelas nas expressões do rotacional serão nulas, mas é importante verificar cada componente segundo a fórmula: - Vou calcular cada componente uma a uma, mostrando o porquê de muitos termos se anularem.]
Passo 5
Cálculo do componente radial do rotacional:
- Substituindo
e em : - Logo a componente radial é zero.
Passo 6
Cálculo da componente polar (
) do rotacional:
- Usando a fórmula e sabendo que
não depende de , e : - Como
é independente de , temos . Também . - Portanto
Passo 7
Cálculo da componente azimutal (
) do rotacional:
- Fórmula relevante:
- Como
, o primeiro termo é zero: - Resta calcular
. Primeiro calcule a derivada de em relação a : pois é tratado como constante na derivada parcial em . - Substituindo:
- Portanto a componente azimutal é
.
Passo 8
Montagem final do rotacional e interpretação:
- Reunindo as componentes obtidas:
- Em forma vetorial, escrevemos o rotacional como
- Observação curta e motivadora: o campo radial dependente de
cria um rotacional puramente na direção azimutal; isso é coerente com a ideia de que variação angular do componente radial gera circulação ao redor do eixo azimutal.