Para o campo vetorial \vec{F}=R \sin \theta \hat{a}_{R}, calcule as operações diferenciais \vec{\nabla} \cdot \vec{F} e \vec{\nabla} \times \vec{F}. Note que é um problema a ser tratado em coordenadas esféricas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá (tudo o que importa):
  • Pedem para calcular as operações diferenciais \vec{\nabla}\cdot\vec{F} (divergente) e \vec{\nabla}\times\vec{F} (rotacional) do campo vetorial dado.
  • O campo vetorial é \vec{F}=R\sin\theta\,\hat{a}_{R}.
  • Está explícito que devemos trabalhar em coordenadas esféricas; portanto as variáveis independentes são R (raio), \theta (ângulo polar, medido desde o eixo z) e \varphi (ângulo azimutal).
  • Informações extraídas do enunciado que usaremos diretamente:
    • Componente radial F_{R}=R\sin\theta.
    • Componentes polar e azimutal são nulas: F_{\theta}=0 e F_{\varphi}=0.
  • Perguntas a responder:
    1. Calcular \vec{\nabla}\cdot\vec{F}.
    2. Calcular \vec{\nabla}\times\vec{F}.

Passo 2

Noções e fórmulas em coordenadas esféricas (mini-aula):
  • Em coordenadas esféricas o vetor geral escrito nas componentes locais é \vec{A}=A_{R}\,\hat{a}_{R}+A_{\theta}\,\hat{a}_{\theta}+A_{\varphi}\,\hat{a}_{\varphi}.Aqui A_{R},A_{\theta},A_{\varphi} dependem em geral de R,\theta,\varphi.
  • A fórmula do divergente em coordenadas esféricas é \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial}{\partial R}\!\big(R^{2}A_{R}\big) +\frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,A_{\theta}\big) +\frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.Explicando cada termo:
    • \frac{1}{R^{2}}\frac{\partial}{\partial R}(R^{2}A_{R}) captura variação radial ajustada pela área de uma esfera de raio R.
    • \frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,A_{\theta}) vem da variação na direção polar ( \theta), com o fator \sin\theta que aparece por causa das linhas de latitude.
    • \frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} é a variação azimutal.
  • A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (componentes nas direções unitárias) é \begin{aligned} (\vec{\nabla}\times\vec{A})_{R} &=\frac{1}{R\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi}\right),\\[6pt] (\vec{\nabla}\times\vec{A})_{\theta} &=\frac{1}{R}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_{R}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial R}(R A_{\varphi})\right),\\[6pt] (\vec{\nabla}\times\vec{A})_{\varphi} &=\frac{1}{R}\left(\frac{\partial}{\partial R}(R A_{\theta})-\frac{\partial A_{R}}{\partial\theta}\right). \end{aligned}Explicando brevemente:
    • Cada componente do rotacional envolve derivadas cruzadas entre as componentes do campo, adaptadas pela geometria esférica (fatores R e \sin\theta).]

Passo 3

Aplicando a fórmula do divergente ao nosso campo:
  • Identificamos A_{R}=F_{R}=R\sin\theta, A_{\theta}=0, A_{\varphi}=0.
  • Substituindo na fórmula \vec{\nabla}\cdot\vec{F} =\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial}{\partial R}\!\big(R^{2}\cdot(R\sin\theta)\big) +\frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\cdot 0\big) +\frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}(0).
  • Os dois últimos termos são zero porque F_{\theta}=F_{\varphi}=0. Então resta \vec{\nabla}\cdot\vec{F} =\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial}{\partial R}\!\big(R^{3}\sin\theta\big).
  • Agora calculamos a derivada parcial em R. Trate \sin\theta como constante ao derivar em relação a R: \frac{\partial}{\partial R}\!\big(R^{3}\sin\theta\big) =\sin\theta\cdot\frac{\partial}{\partial R}(R^{3}) =\sin\theta\cdot 3R^{2}=3R^{2}\sin\theta.
  • Dividindo por R^{2} temos \vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{R^{2}}\cdot 3R^{2}\sin\theta=3\sin\theta.
  • Resultado: o divergente é independente de R e vale 3\sin\theta.

Passo 4

Preparação para calcular o rotacional (mini-aula aplicada):
  • Como F_{\theta}=0 e F_{\varphi}=0, muitas parcelas nas expressões do rotacional serão nulas, mas é importante verificar cada componente segundo a fórmula: \begin{aligned} (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{R} &=\frac{1}{R\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,F_{\varphi})-\frac{\partial F_{\theta}}{\partial\varphi}\right),\\[6pt] (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\theta} &=\frac{1}{R}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial F_{R}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial R}(R F_{\varphi})\right),\\[6pt] (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\varphi} &=\frac{1}{R}\left(\frac{\partial}{\partial R}(R F_{\theta})-\frac{\partial F_{R}}{\partial\theta}\right). \end{aligned}
  • Vou calcular cada componente uma a uma, mostrando o porquê de muitos termos se anularem.]

Passo 5

Cálculo do componente radial do rotacional:
  • Substituindo F_{\theta}=0 e F_{\varphi}=0 em (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{R}: (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{R} =\frac{1}{R\sin\theta}\big(\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\cdot 0)-\frac{\partial 0}{\partial\varphi}\big)=0.
  • Logo a componente radial é zero.

Passo 6

Cálculo da componente polar ( \theta) do rotacional:
  • Usando a fórmula e sabendo que F_{R}=R\sin\theta não depende de \varphi, e F_{\varphi}=0: (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\theta} =\frac{1}{R}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial F_{R}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial R}(R\cdot 0)\right).
  • Como F_{R} é independente de \varphi, temos \frac{\partial F_{R}}{\partial\varphi}=0. Também \frac{\partial}{\partial R}(R\cdot 0)=0.
  • Portanto (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\theta}=0.

Passo 7

Cálculo da componente azimutal ( \varphi) do rotacional:
  • Fórmula relevante: (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\varphi} =\frac{1}{R}\left(\frac{\partial}{\partial R}(R F_{\theta})-\frac{\partial F_{R}}{\partial\theta}\right).
  • Como F_{\theta}=0, o primeiro termo é zero: \frac{\partial}{\partial R}(R F_{\theta})=\frac{\partial}{\partial R}(0)=0.
  • Resta calcular -\frac{1}{R}\frac{\partial F_{R}}{\partial\theta}. Primeiro calcule a derivada de F_{R}=R\sin\theta em relação a \theta: \frac{\partial F_{R}}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}(R\sin\theta)=R\cos\theta,pois R é tratado como constante na derivada parcial em \theta.
  • Substituindo: (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\varphi}=\frac{1}{R}\big(0-R\cos\theta\big)=-\cos\theta.
  • Portanto a componente azimutal é -\cos\theta.

Passo 8

Montagem final do rotacional e interpretação:
  • Reunindo as componentes obtidas: (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{R}=0,\qquad (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\theta}=0,\qquad (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{\varphi}=-\cos\theta.
  • Em forma vetorial, escrevemos o rotacional como \vec{\nabla}\times\vec{F}=-\cos\theta\,\hat{a}_{\varphi}.
  • Observação curta e motivadora: o campo radial dependente de \theta cria um rotacional puramente na direção azimutal; isso é coerente com a ideia de que variação angular do componente radial gera circulação ao redor do eixo azimutal.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=3\sin\theta
\vec{\nabla}\times\vec{F}=-\cos\theta\,\hat{a}_{\varphi}

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