Os campos abaixo são conservativos. Determine uma função potencial para cada um deles.
F(x, y)=(2 x y^2-y^3) i+(2 x^2 y-3 x y^2+2) j ;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(2xy^2-y^3r),i+l(2x^2y-3xy^2+2r),j
e afirma que ele é conservativo. Isso significa que existe uma função escalar phi(x,y) tal que
partial phipartial x=2xy^2-y^3, partial phipartial y=2x^2y-3xy^2+2
Para encontrá-la, vamos integrar a primeira componente em relação a x e depois ajustar com uma função de y.

Passo 2

Integramos
partial phipartial x=2xy^2-y^3
em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y)=integrall(2xy^2-y^3r),dx =x^2y^2-x,y^3+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 3

Agora impomos que
partial phipartial y
deve ser igual a segunda componente de vec F. Calculamos
partial phipartial y =partialpartial yl(x^2y^2-x,y^3+h(y)r) =2x^2y-3xy^2+h'(y)
Como isso tem de coincidir com
2x^2y-3xy^2+2,
seguem-se
h'(y)=2 Longrightarrow h(y)=2y + C

Resposta

Uma função potencial para vec F é
phi(x,y)=x^2y^2-x,y^3+2y + C,
onde C é constante arbitrária.

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