Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função e ache e sua matriz nos seguintes casos: é dado por , em que é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
definida por
onde já é dada como diferenciável. Vamos usar que projeções e composição de mapas diferenciáveis são diferenciáveis, e então calcular em e sua matriz.
Passo 2
Observe que pode ser vista como o emparelhamento da projeção e da composição . A projeção é um mapa linear (logo diferenciável) e é a composição da projeção na segunda componente, que é linear, com , que é diferenciável. Pela regra da cadeia e pela soma direta de mapas, é diferenciável em todo ponto.
Passo 3
Para calcular , tomamos um vetor direcional . Como a diferencial da projeção em é a própria e a diferencial de em é , temos
Passo 4
Em termos de matriz jacobiana, ordenando as variáveis de entrada como e as de saída como , obtemos o bloco
onde Im é a matriz identidade mtimes m, o bloco zero à direita é mtimes n e o bloco zero abaixo é ktimes m.