Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função F e ache d F(p) e sua matriz nos seguintes casos:
F: R^m times R^n R^m times R^k é dado por F(x, y)=(x, f(y)), em que f: R^n R^k é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
Fcolon R^mtimesR^ntoR^mtimesR^k,
definida por
F(x,y) = (x,;f(y)),
onde fcolonR^ntoR^k já é dada como diferenciável. Vamos usar que projeções e composição de mapas diferenciáveis são diferenciáveis, e então calcular dF(p) em p=(x,y) e sua matriz.

Passo 2

Observe que F pode ser vista como o emparelhamento da projeção pi1(x,y)=x e da composição pi2(x,y)=f(y). A projeção pi1 é um mapa linear (logo diferenciável) e pi2 é a composição da projeção na segunda componente, que é linear, com f, que é diferenciável. Pela regra da cadeia e pela soma direta de mapas, F é diferenciável em todo ponto.

Passo 3

Para calcular dF(p), tomamos um vetor direcional (h,k)in T(x,y)(R^mtimesR^n)simeqR^mtimesR^n. Como a diferencial da projeção em x é a própria h e a diferencial de f em y é df(y), temos
dF(x,y),(h,k) =l(d(pi1)(x,y),(h,k),,d(fcircpi2)(x,y),(h,k)r) =(h,;df(y),(k))

Passo 4

Em termos de matriz jacobiana, ordenando as variáveis de entrada como (x;y) e as de saída como (coord x;coord f), obtemos o bloco
DF(x,y) = Im & 0 0 & Df(y) ,
onde Im é a matriz identidade mtimes m, o bloco zero à direita é mtimes n e o bloco zero abaixo é ktimes m.

Resposta

A função F é diferenciável em todo (x,y).
dF(x,y),(h,k) = l(h,;df(y),(k)r),
e sua matriz jacobiana é
Im & 0 0 & Df(y)

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