Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função F e ache d F(p) e sua matriz nos seguintes casos:
F: R^n R é dado por F(x)=lang<= x, x0rang<=, em que x0 in R^n é fixo.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
Fcolon R^n to R, F(x)=lang<= x,x0rang<=
onde x0inR^n é fixo. O conteúdo envolvido é o de diferenciabilidade em R^n e a relação entre mapas lineares e suas derivadas.

Passo 2

Observamos que F é uma aplicação linear, pois para quaisquer x,yinR^n e lambdainR vale
F(x+y)=lang<= x+y,x0rang<= =lang<= x,x0rang<=+lang<= y,x0rang<= =F(x)+F(y),
F(lambda x)=lang<= lambda x,x0rang<= =lambda lang<= x,x0rang<= =lambda F(x)
Qualquer aplicação linear é diferenciável em todo ponto com derivada igual à própria aplicação.

Passo 3

Pela propriedade de linearidade, a diferencial em um ponto arbitrário pinR^n é o operador linear
dF(p)colon R^ntoR, dF(p)(h)=F(h) =lang<= h,x0rang<=
Em outras palavras, para qualquer vetor de incremento h, o incremento linear aproximado de F é lang<= h,x0rang<=.

Passo 4

Para escrever a matriz de dF(p) (ou jacobiana de F) escolhemos as bases usuais. Visto que dF(p) é um funcional linear em R^n, sua matriz é um vetor linha cujas entradas são as componentes de x0:
JacF(p) = x0,1 & x0,2 & cdots & x0,n

Resposta

A função F é diferenciável em todo R^n. Para todo pinR^n e hinR^n,
dF(p)(h)=lang<= h,x0rang<=
A matriz jacobiana de F em qualquer ponto p é
x0,1 & x0,2 & cdots & x0,n

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