Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função
e ache
e sua matriz nos seguintes casos:
é dado por
, em que
é fixo.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
onde
é fixo. O conteúdo envolvido é o de diferenciabilidade em
e a relação entre mapas lineares e suas derivadas.
Passo 2
Observamos que
é uma aplicação linear, pois para quaisquer
e
vale
Qualquer aplicação linear é diferenciável em todo ponto com derivada igual à própria aplicação.
Passo 3
Pela propriedade de linearidade, a diferencial em um ponto arbitrário
é o operador linear
Em outras palavras, para qualquer vetor de incremento
, o incremento linear aproximado de
é
.
Passo 4
Para escrever a matriz de
(ou jacobiana de
) escolhemos as bases usuais. Visto que
é um funcional linear em
, sua matriz é um vetor linha cujas entradas são as componentes de
:
Resposta
A função
é diferenciável em todo
. Para todo
e
,
A matriz jacobiana de
em qualquer ponto
é