Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^infty n(2n)!
O conteúdo principal que vamos usar é o Critério da Razão (ou d’Alembert), apropriado quando há fatoriais no termo geral.

Passo 2

Seja
an = n(2n)!
Aplicando o Critério da Razão, calculamos
an+1an = n+1(2n+2)! n(2n)! = n+1n,(2n)!(2n+2)! = l(1+1nr)1(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinftyan+1an = limntoinftyl(1+tfrac1nr)1(2n+2)(2n+1) = 0
Como esse limite é menor que 1, o Critério da Razão garante que sum an converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn(2n)! converge (na verdade, converge absolutamente).

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