Os campos abaixo são conservativos. Determine uma função potencial para cada um deles.
F(x, y)=(x^2+y^2) i+2 x y j;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = (P,Q) = l(x^2 + y^2,;2xyr)
e pede uma função potencial phi(x,y) tal que
nabla phi = F
O conteúdo usado aqui é que, em um domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se partial P/partial y = partial Q/partial x, e então existe phi com partialphi/partial x = P e partialphi/partial y = Q.

Passo 2

Verificamos a condição de conservatividade:
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y, partial Qpartial x = partialpartial x(2xy) = 2y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo e admite potencial.

Passo 3

Construímos phi integrando P em relação a x:
partial phipartial x = x^2 + y^2 Longrightarrow phi(x,y) = integral (x^2 + y^2),dx = x^33 + x,y^2 + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar g(y), usamos
partial phipartial y = partialpartial yl(x^33 + x,y^2 + g(y)r) = 2x,y + g'(y)
e igualamos a Q=2xy. Logo
2x,y + g'(y) = 2x,y Longrightarrow g'(y)=0 Longrightarrow g(y)=C,
com C constante.

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y) = x^33 + x,y^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária.

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