Os campos abaixo são conservativos. Determine uma função potencial para cada um deles.
F(x, y)=(e^x+y+1) i+e^x+y j;

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y)=l(e^x+y+1r),i+e^x+y,j
e pede uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F. Para isso, usaremos o fato de que, em um campo conservativo,
partialphipartial x=F1 e partialphipartial y=F2

Passo 2

Primeiro verificamos que o campo é realmente conservativo, conferindo a igualdade das derivadas mistas:
partial F1partial y =partialpartial yl(e^x+y+1r) =e^x+y,
partial F2partial x =partialpartial xe^x+y =e^x+y
Como partial F1/partial y=partial F2/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Integramos partialphipartial x=e^x+y+1 em relação a x:
phi(x,y) =integrall(e^x+y+1r),dx =integral e^x+y,dx+integral1,dx =e^x+y+x+C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos partialphipartial y=F2=e^x+y. Calculando
partialphipartial y =partialpartial yl(e^x+y+x+C(y)r) =e^x+y+C'(y),
deve ser igual a e^x+y. Logo C'(y)=0, isto é, C(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y)=e^x+y+x+constante
Podemos escolher a constante igual a zero, ficando
phi(x,y)=e^x+y+x

Exercícios relacionados