Os campos abaixo são conservativos. Determine uma função potencial para cada um deles.
F(x, y, z)=2 x y i+(x^2+z cos y z) j+y cos y z k ;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y,z)=2xy,i+l(x^2+zcos(yz)r),j+ycos(yz),k
e pede uma função potencial varphi(x,y,z) tal que nablavarphi=F. Como vec F é conservativo, podemos obtê-la integrando sucessivamente as derivadas parciais.

Passo 2

Começamos por
partialvarphipartial x=2xy
Integrando em relação a x,
varphi(x,y,z)=integral 2xy,dx = x^2y + C(y,z),
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 3

Em seguida impomos
partialvarphipartial y = partialpartial yl(x^2y + C(y,z)r) = x^2 + partial Cpartial y
que deve igualar Q=x^2+zcos(yz). Logo
partial Cpartial y = zcos(yz)
Integramos em y:
C(y,z)=integral zcos(yz),dy = sin(yz) + h(z),
onde h(z) é nova “constante” que depende só de z.

Passo 4

Por fim, exigimos
partialvarphipartial z = partialpartial zl(x^2y + sin(yz) + h(z)r) = ycos(yz) + h'(z)
deve ser igual a R=ycos(yz). Assim h'(z)=0, ou seja h é constante.

Resposta

A função potencial, à adição de uma constante, é
varphi(x,y,z)=x^2y + sin(yz)

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