Os campos abaixo são conservativos. Determine uma função potencial para cada um deles.
F(x, y)=(cos (x y)-x y sin (x y)) i-x^2 sin (x y) j ;

Passo 1

O enunciado entrega o campo vetorial
vec F(x,y)=l(cos(xy)-xysin(xy)r),vec i ;-;x^2sin(xy),vec j
e afirma que ele é conservativo. O que queremos é achar uma função potencial phi(x,y) tal que
nablaphi(x,y)=l(phix,phiyr)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=vec F(x,y)
Aqui P(x,y)=cos(xy)-xysin(xy) e Q(x,y)=-x^2sin(xy). Para resolver, vamos integrar P em relação a x e depois ajustar uma função arbitrária de y.

Passo 2

Integramos em x:
integral P(x,y),dx = integral cos(xy),dx ;-;yintegral xsin(xy),dx
Calculamos cada parte:
integral cos(xy),dx = 1y,sin(xy),
e, por integração por partes em integral xsin(xy),dx (com u=x, dv=sin(xy),dx), obtemos
integral xsin(xy),dx = -xycos(xy) +1y^2sin(xy)
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phi(x,y) =1ysin(xy) ;-;yl(-tfracxycos(xy)+tfrac1y^2sin(xy)r) +H(y),
onde H(y) é função arbitrária de y. Simplificando,
phi(x,y)=xcos(xy)+H(y)

Passo 3

Para determinar H(y), calculamos
phiy(x,y) =partialpartial yl[xcos(xy)+H(y)r] =-x^2sin(xy)+H'(y)
e igualamos a Q(x,y)=-x^2sin(xy). Assim
-x^2sin(xy)+H'(y)=-x^2sin(xy) Longrightarrow H'(y)=0
portanto H(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
boxedphi(x,y)=xcos(xy)+C,
com C constante arbitrária.

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