Exercício 6. (ELJ 48) Seja f: R^n times R^n R^p uma função bilinear. Mostre que
a) lim (h, k) 0 f(h, k)|(h, k)|=0.
b) f é diferenciável em (x0, y0). Calcule d f(x0, y0)(h, k).

Passo 1

O enunciado define uma função bilinear
f:R^ntimesR^ntoR^p,
isto é, f é linear em cada argumento separadamente.
Precisamos mostrar:
a) lim(h,k)to0f(h,k)|(h,k)|=0.
b) Que f é diferenciável em qualquer ponto (x0,y0) e calcular
,df(x0,y0)(h,k).

Passo 2

Pela bilinearidade, existe constante M>=0 tal que, para todo
(u,v)inR^ntimesR^n,
|f(u,v)|;<=;M,|u|;|v|
Isso decorre de restringir f à esfera unidade (compacta) e usar continuidade de f.

Passo 3

Escolhendo a norma no produto como
|(h,k)|=raiz|h|^2+|k|^2, temos
|h|<=|(h,k)| e |k|<=|(h,k)|.
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|tfracf(h,k)|(h,k)||;<=; M,|h|,|k||(h,k)| ;<=;M,|(h,k)|^2|(h,k)| ;=;M,|(h,k)|
Quando (h,k)to0, o lado direito vai a zero, provando a parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), expandimos
f(x0+h,,,y0+k) ;=; f(x0,y0)+f(x0,k)+f(h,y0)+f(h,k)
usando bilinearidade.
Definimos o candidato ao diferencial como o mapa linear
L(h,k)=f(x0,k)+f(h,y0)

Passo 5

O erro de aproximação é
R(h,k) =f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-L(h,k) =f(h,k)
Pela parte (a), |R(h,k)|/|(h,k)|to0.
Isso mostra que f é diferenciável e
,df(x0,y0)=L.

Resposta

df(x0,y0)(h,k)=f(x0,k)+f(h,y0)

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