Exercício 6. (ELJ 48) Seja uma função bilinear. Mostre que
a) .
b) é diferenciável em . Calcule .
Passo 1
O enunciado define uma função bilinear ,
isto é, é linear em cada argumento separadamente.
Precisamos mostrar:
a) .
b) Que é diferenciável em qualquer ponto e calcular .
Passo 2
Pela bilinearidade, existe constante tal que, para todo ,
Isso decorre de restringir à esfera unidade (compacta) e usar continuidade de .
Passo 3
Escolhendo a norma no produto como , temos e .
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Quando (h,k)to0, o lado direito vai a zero, provando a parte (a).