Exercício 7. (ELJ 49) Seja f: R^m R^n uma função diferenciável que satisfaz |f(x)-f(y)| <= M|x-y|, para todo x, y in R^m, em que M>0 é um valor constante. Mostre que |partial fpartial nu(p)| <= M|v|, para todo p, v in R^m.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável
fcolonR^mtoR^n
que é Lipschitz de constante M, ou seja,
|f(x)-f(y)|<= M,|x-y| forall,x,yinR^m
Precisamos mostrar que a derivada direcional de f em qualquer ponto p na direção v, denotada por
partial fpartial v(p),
satisfaz
l|partial fpartial v(p)r|<= M,|v|
Vamos usar a definição de derivada direcional via função auxiliar unidimensional e a propriedade Lipschitz.

Passo 2

Defina a função auxiliar
gcolonRtoR^n, g(t)=fl(p+t,vr)
Como f é diferenciável, g também é diferenciável em t=0. Pela definição de derivada direcional, temos
g'(0) =limtto 0g(t)-g(0)t =partial fpartial v(p)

Passo 3

A condição Lipschitz de f implica, para todo tinR,
l|g(t)-g(0)r| =|f(p+t,v)-f(p)| <= M,|p+t,v - p| = M,|t|;|v|
Dividindo por |t| (para tneq 0), obtemos
|g(t)-g(0)||t| <= M,|v|

Passo 4

Como g é diferenciável em 0,
g'(0) =limtto0g(t)-g(0)t
Tomando norma e passando ao limite, a desigualdade do passo anterior dá
|g'(0)| <= M,|v|

Resposta

l|partial fpartial v(p)r| =|g'(0)| <= M,|v|

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