Exercício 7. (ELJ 49) Seja
uma função diferenciável que satisfaz
, para todo
, em que
é um valor constante. Mostre que
, para todo
p, v in R^m .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
fcolonR^mtoR^n
que é Lipschitz de constanteM , ou seja,
que é Lipschitz de constante
Precisamos mostrar que a derivada direcional de
f em qualquer ponto
p na direção
v , denotada por
partial fpartial v(p) ,
satisfaz
satisfaz
Vamos usar a definição de derivada direcional via função auxiliar unidimensional e a propriedade Lipschitz.
Passo 2
Defina a função auxiliar
Como
f é diferenciável,
g também é diferenciável em
t=0 . Pela definição de derivada direcional, temos
Passo 3
A condição Lipschitz de
f implica, para todo
tinR ,
Dividindo por
|t| (para
tneq 0 ), obtemos
Passo 4
Como
g é diferenciável em
0 ,
Tomando norma e passando ao limite, a desigualdade do passo anterior dá