Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty cos ^4(raizn pi+4n-5) cdot 2n^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty cos^4!gl(raizn,pi + 4n - 5gr);2n^3/2
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular comparação assintótica com séries p-séries. Vamos precisar de propriedades de cos(x) para xto 0 e do teste da comparação ou do teste da razão-limite (limit comparison test).

Passo 2

Para n grande note que
raizn,pi + 4n - 5 = raizn,pin,1 + 4/(raizn,pi)1 - 5/n sim piraizn quando ntoinfty
Como limxto 0cos(x)=1, temos
cos^4!gl(raizn,pi + 4n - 5gr);longrightarrow;1 quando ntoinfty

Passo 3

Defina
an = cos^4!l(tfracraizn,pi + 4n - 5r),2n^3/2 e bn = 2n^3/2
Então
limntoinftyanbn = limntoinftycos^4!l(tfracraizn,pi + 4n - 5r) = 1
Como sum bn = 2sum n^-3/2 é uma p-série com p=3/2>1 (logo converge), pelo teste da comparação por limite concluímos que sum an também converge.

Passo 4

A eventual falta de definição do termo n=5 (denominador zero) não afeta a convergência do conjunto infinito de termos: remover ou adicionar um número finito de termos não muda o caráter convergente ou divergente da série. Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta por comparação com uma p-série de expoente 3/2).

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