Os campos elétrico
e magnético
, funções do espaço e tempo, podem ser escritos em termos de um potencial elétrico
e um potencial vetor
(também dependentes do espaço e tempo), a saber:
Considere um meio material linear e isotrópico com permissividade elétrica
e permeabilidade magnética
.
Usando a condição de invariância de Lorentz (gauge de Lorentz), mostre que o potencial elétrico se propaga no meio supracitado com velociade
, i.e., mostre que
Dica: O gauge de Lorentz é dado por
Usando a condição de invariância de Lorentz (gauge de Lorentz), mostre que o potencial elétrico se propaga no meio supracitado com velociade
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado fala sobre os campos elétrico (
) e magnético (
), que dependem do espaço e do tempo. Esses campos podem ser descritos usando um potencial elétrico (
) e um potencial vetor (
). A questão nos pede para, usando a condição de invariância de Lorentz (também chamada de gauge de Lorentz), mostrar que o potencial elétrico se propaga em um meio com uma velocidade específica
. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre os potenciais e os campos, aplicar a condição de Lorentz e manipular as equações para chegar na equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações dadas entre os campos elétrico e magnético com os potenciais:
Aqui,
é o operador gradiente, e
representa o produto vetorial. Essas equações nos mostram como os campos são derivados dos potenciais.
Passo 3
Agora, a condição de Lorentz (gauge de Lorentz) é dada por:
Essa condição é uma escolha conveniente que simplifica as equações de Maxwell quando expressas em termos dos potenciais
e
. Ela relaciona a variação temporal do potencial elétrico com a divergência do potencial vetor.
Passo 4
Vamos começar aplicando a condição de Lorentz. Primeiro, vamos tomar a derivada temporal da condição de Lorentz:
Essa expressão nos ajudará a conectar as derivadas dos potenciais com os campos elétricos e magnéticos.
Passo 5
Em seguida, vamos usar as equações de Maxwell para relacionar os potenciais com a densidade de carga
. A equação de Maxwell para o campo elétrico com fontes é:
Substituindo a expressão de
em termos de
e
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora reorganizar essa equação:
Perceba que
é igual a
devido às propriedades dos operadores diferenciais. Portanto, podemos reescrever:
Passo 7
Agora, vamos substituir a condição de Lorentz na equação acima. Da condição de Lorentz:
Tomando a derivada temporal de ambos os lados:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 8
Finalmente, rearranjando os termos para deixar a equação no formato solicitado:
Resposta
Mostramos que, usando a condição de Lorentz, o potencial elétrico
satisfaz a equação
Isso confirma que
se propaga no meio com velocidade
.