Os campos elétrico E e magnético B, funções do espaço e tempo, podem ser escritos em termos de um potencial elétrico varphi e um potencial vetor A (também dependentes do espaço e tempo), a saber:
E=-nabla varphi-partial Apartial t e B=nabla times A
Considere um meio material linear e isotrópico com permissividade elétrica varepsilon0 e permeabilidade magnética mu0.
Usando a condição de invariância de Lorentz (gauge de Lorentz), mostre que o potencial elétrico se propaga no meio supracitado com velociade c=1 / raizvarepsilon0 mu0, i.e., mostre que
(1c^2 partial^2partial t^2-nabla^2) varphi=rhovarepsilon0
Dica: O gauge de Lorentz é dado por
1c^2 partial varphipartial t+nabla cdot A=0

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado fala sobre os campos elétrico ( E) e magnético ( B), que dependem do espaço e do tempo. Esses campos podem ser descritos usando um potencial elétrico ( varphi) e um potencial vetor ( A). A questão nos pede para, usando a condição de invariância de Lorentz (também chamada de gauge de Lorentz), mostrar que o potencial elétrico se propaga em um meio com uma velocidade específica c = 1raizvarepsilon0 mu0. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre os potenciais e os campos, aplicar a condição de Lorentz e manipular as equações para chegar na equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações dadas entre os campos elétrico e magnético com os potenciais:
E = -nabla varphi - partial Apartial t e B = nabla times A
Aqui, nabla é o operador gradiente, e times representa o produto vetorial. Essas equações nos mostram como os campos são derivados dos potenciais.

Passo 3

Agora, a condição de Lorentz (gauge de Lorentz) é dada por:
1c^2 partial varphipartial t + nabla cdot A = 0
Essa condição é uma escolha conveniente que simplifica as equações de Maxwell quando expressas em termos dos potenciais varphi e A. Ela relaciona a variação temporal do potencial elétrico com a divergência do potencial vetor.

Passo 4

Vamos começar aplicando a condição de Lorentz. Primeiro, vamos tomar a derivada temporal da condição de Lorentz:
1c^2 partial^2 varphipartial t^2 + partialpartial t (nabla cdot A) = 0
Essa expressão nos ajudará a conectar as derivadas dos potenciais com os campos elétricos e magnéticos.

Passo 5

Em seguida, vamos usar as equações de Maxwell para relacionar os potenciais com a densidade de carga rho. A equação de Maxwell para o campo elétrico com fontes é:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Substituindo a expressão de E em termos de varphi e A, temos:
nabla cdot ( -nabla varphi - partial Apartial t ) = rhovarepsilon0
Simplificando:
- nabla^2 varphi - nabla cdot partial Apartial t = rhovarepsilon0

Passo 6

Vamos agora reorganizar essa equação:
nabla^2 varphi + nabla cdot partial Apartial t = -rhovarepsilon0
Perceba que nabla cdot partial Apartial t é igual a partialpartial t (nabla cdot A) devido às propriedades dos operadores diferenciais. Portanto, podemos reescrever:
nabla^2 varphi + partialpartial t (nabla cdot A) = -rhovarepsilon0

Passo 7

Agora, vamos substituir a condição de Lorentz na equação acima. Da condição de Lorentz:
nabla cdot A = -1c^2 partial varphipartial t
Tomando a derivada temporal de ambos os lados:
partialpartial t (nabla cdot A) = -1c^2 partial^2 varphipartial t^2
Substituindo isso na equação anterior:
nabla^2 varphi - 1c^2 partial^2 varphipartial t^2 = -rhovarepsilon0

Passo 8

Finalmente, rearranjando os termos para deixar a equação no formato solicitado:
( 1c^2 partial^2partial t^2 - nabla^2 ) varphi = rhovarepsilon0

Resposta

Mostramos que, usando a condição de Lorentz, o potencial elétrico varphi satisfaz a equação
( 1c^2 partial^2partial t^2 - nabla^2 ) varphi = rhovarepsilon0
Isso confirma que varphi se propaga no meio com velocidade c = 1raizvarepsilon0 mu0.

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