Os campos elétrico
e magnético
, funções do espaço e tempo, podem ser escritos em termos de um potencial elétrico
e um potencial vetor
(também dependentes do espaço e tempo), a saber:
Considere um meio material linear e isotrópico com permissividade elétrica
e permeabilidade magnética
.
Usando a condição de invariância de Lorentz (gauge de Lorentz), mostre que o potencial vetor se propaga no meio supracitado com velociade
, i.e., mostre que
Dica: O gauge de Lorentz é dado por
Usando a condição de invariância de Lorentz (gauge de Lorentz), mostre que o potencial vetor se propaga no meio supracitado com velociade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para mostrar que o potencial vetor
se propaga num meio com uma velocidade específica
. Para isso, vamos usar as equações que relacionam os campos elétrico
e magnético
com os potenciais elétrico
e vetor
. A matéria envolvida aqui é Eletromagnetismo, mais especificamente as equações de Maxwell e o gauge de Lorentz. Vamos precisar entender como aplicar essas equações para derivar a equação de propagação do potencial vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das expressões que relacionam os campos elétrico e magnético com os potenciais:
Essas equações dizem como os campos eletromagnéticos são derivados dos potenciais. Aqui,
é o potencial elétrico e
é o potencial vetor.
Passo 3
Agora, vamos considerar as equações de Maxwell no meio material dado. Em um meio linear e isotrópico, as equações de Maxwell para o potencial vetor
são:
Substituindo
e
pelas expressões em termos de
e
:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Usamos a identidade vetorial
.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição de gauge de Lorentz, que é:
Como
, temos:
Isso simplifica a equação que estávamos desenvolvendo.
Passo 6
Substituindo a condição de Lorentz na equação anterior:
Simplificando os termos:
Passo 7
Para simplificar ainda mais, observamos que os termos envolvendo
se cancelam devido à condição de Lorentz. Assim, ficamos com:
Reorganizando os termos:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
, temos
, logo
. Substituindo na equação:
Resposta
Então, demonstramos que o potencial vetor
satisfaz a equação de propagação:
Isso mostra que
se propaga no meio com velocidade
.