Os campos elétrico E e magnético B, funções do espaço e tempo, podem ser escritos em termos de um potencial elétrico varphi e um potencial vetor A (também dependentes do espaço e tempo), a saber:
E=-nabla varphi-partial Apartial t e B=nabla times A
Considere um meio material linear e isotrópico com permissividade elétrica varepsilon0 e permeabilidade magnética mu0.
Usando a condição de invariância de Lorentz (gauge de Lorentz), mostre que o potencial vetor se propaga no meio supracitado com velociade c=1 / raizvarepsilon0 mu0, i.e., mostre que
(1c^2 partial^2partial t^2-nabla^2) A=mu0 j
Dica: O gauge de Lorentz é dado por
1c^2 partial varphipartial t+nabla cdot A=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para mostrar que o potencial vetor A se propaga num meio com uma velocidade específica c = 1raizvarepsilon0 mu0. Para isso, vamos usar as equações que relacionam os campos elétrico E e magnético B com os potenciais elétrico varphi e vetor A. A matéria envolvida aqui é Eletromagnetismo, mais especificamente as equações de Maxwell e o gauge de Lorentz. Vamos precisar entender como aplicar essas equações para derivar a equação de propagação do potencial vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das expressões que relacionam os campos elétrico e magnético com os potenciais:
E = -nabla varphi - partial Apartial t e B = nabla times A
Essas equações dizem como os campos eletromagnéticos são derivados dos potenciais. Aqui, varphi é o potencial elétrico e A é o potencial vetor.

Passo 3

Agora, vamos considerar as equações de Maxwell no meio material dado. Em um meio linear e isotrópico, as equações de Maxwell para o potencial vetor A são:
mu0 j = nabla times B - mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Substituindo B e E pelas expressões em termos de A e varphi:
mu0 j = nabla times (nabla times A) - mu0 varepsilon0 (-nabla varphi - partial Apartial t)'

Passo 4

Simplificando a expressão:
mu0 j = nabla (nabla cdot A) - nabla^2 A - mu0 varepsilon0 (-partial nabla varphipartial t - partial^2 Apartial t^2)
Usamos a identidade vetorial nabla times (nabla times A) = nabla(nabla cdot A) - nabla^2 A.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de gauge de Lorentz, que é:
1c^2 partial varphipartial t + nabla cdot A = 0
Como c = 1raizvarepsilon0 mu0, temos:
11varepsilon0 mu0 partial varphipartial t + nabla cdot A = 0 implies mu0 varepsilon0 partial varphipartial t + nabla cdot A = 0
Isso simplifica a equação que estávamos desenvolvendo.

Passo 6

Substituindo a condição de Lorentz na equação anterior:
mu0 j = nabla (-mu0 varepsilon0 partial varphipartial t) - nabla^2 A - mu0 varepsilon0 (-mu0 varepsilon0 partial^2 varphipartial t^2 - partial^2 Apartial t^2)
Simplificando os termos:
mu0 j = -mu0 varepsilon0 nabla partial varphipartial t - nabla^2 A + mu0 varepsilon0 mu0 varepsilon0 partial^2 varphipartial t^2 + mu0 varepsilon0 partial^2 Apartial t^2

Passo 7

Para simplificar ainda mais, observamos que os termos envolvendo varphi se cancelam devido à condição de Lorentz. Assim, ficamos com:
mu0 j = -nabla^2 A + mu0 varepsilon0 partial^2 Apartial t^2
Reorganizando os termos:
mu0 varepsilon0 partial^2 Apartial t^2 - nabla^2 A = mu0 j

Passo 8

Dividindo ambos os lados por mu0:
varepsilon0 partial^2 Apartial t^2 - 1mu0 nabla^2 A = j
Lembrando que c = 1raizvarepsilon0 mu0, temos c^2 = 1varepsilon0 mu0, logo 1c^2 = varepsilon0 mu0. Substituindo na equação:
1c^2 partial^2 Apartial t^2 - nabla^2 A = mu0 j

Resposta

Então, demonstramos que o potencial vetor A satisfaz a equação de propagação:
(1c^2 partial^2partial t^2 - nabla^2) A = mu0 j
Isso mostra que A se propaga no meio com velocidade c = 1raizvarepsilon0 mu0.

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