Para campos eletromagnéticos estáticos, tem-se que:
A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero. Ou seja:
Porém, de acordo com a equação de continuidade da corrente, tem-se que:
Assim, as equações
e
são incompatíveis para campos variantes no tempo.
A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero. Ou seja:
Porém, de acordo com a equação de continuidade da corrente, tem-se que:
Assim, as equações
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: em campos eletromagnéticos estáticos vale a lei de Ampère
e como a divergência de um rotacional é sempre zero, temos
Por outro lado, a equação de continuidade da carga impõe
Logo, para campos que variam no tempo,
e
ficam em conflito.
Conteúdo: teoria dos campos eletromagnéticos (Ampère, continuidade de carga) e cálculo vetorial (divergência e rotacional).
O que vamos precisar: entender por que ocorre essa incompatibilidade e mostrar como o Maxwell resolveu isso com a chamada “corrente de deslocamento”.
Conteúdo: teoria dos campos eletromagnéticos (Ampère, continuidade de carga) e cálculo vetorial (divergência e rotacional).
O que vamos precisar: entender por que ocorre essa incompatibilidade e mostrar como o Maxwell resolveu isso com a chamada “corrente de deslocamento”.
Passo 2
Primeiro, revisita rápida na propriedade de divergência do rotacional: para qualquer campo vetorial
, vale
Isso é puro cálculo vetorial e não depende de eletromagnetismo: é uma identidade.
Passo 3
Aplicando essa identidade à lei de Ampère sem carga deslocante (válida só em estático)
a gente vê que
Ou seja, essa forma de Ampère força
.
Passo 4
Mas a equação de continuidade, que é a expressão matemática da conservação de carga, afirma
Se a densidade de carga
muda com o tempo (
), temos
. Aí nasce o conflito: Ampère “puro” pede divergência nula, continuidade de carga pede divergência igual a
.
Passo 5
Maxwell sacou que a solução é corrigir a lei de Ampère, acrescentando um termo extra – a corrente de deslocamento – que compensa a variação de carga. A lei completa (ley de Ampère–Maxwell) fica:
Aqui
é o deslocamento elétrico, e
atua como uma corrente “fantasma” que garante consistência.
Passo 6
Vamos conferir divergindo os dois lados:
Mas, pela definição de densidade de carga,
. Logo
que é exatamente a equação de continuidade. Beleza, tudo bate!
Resposta
Para remover a incompatibilidade em campos variantes no tempo, a lei de Ampère é modificada para
onde o termo
é a corrente de deslocamento que faz as equações ficarem consistentes.