Para campos eletromagnéticos estáticos, tem-se que:
nabla times H=J
A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero. Ou seja:
nabla cdot(nabla times H)=nabla cdot J=0
Porém, de acordo com a equação de continuidade da corrente, tem-se que:
nabla cdot J=-partial rhoVpartial t
Assim, as equações nabla cdot J=0 e nabla cdot J=-partial rhoVpartial t são incompatíveis para campos variantes no tempo.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: em campos eletromagnéticos estáticos vale a lei de Ampère
nablatimesH=J,,
e como a divergência de um rotacional é sempre zero, temos
nablacdot(nablatimesH)=0;Longrightarrow;nablacdotJ=0,
Por outro lado, a equação de continuidade da carga impõe
nablacdotJ=-partial rhoVpartial t,
Logo, para campos que variam no tempo, e ficam em conflito.
Conteúdo: teoria dos campos eletromagnéticos (Ampère, continuidade de carga) e cálculo vetorial (divergência e rotacional).
O que vamos precisar: entender por que ocorre essa incompatibilidade e mostrar como o Maxwell resolveu isso com a chamada “corrente de deslocamento”.

Passo 2

Primeiro, revisita rápida na propriedade de divergência do rotacional: para qualquer campo vetorial nablacdot(nablatimesA)=0 , vale
Isso é puro cálculo vetorial e não depende de eletromagnetismo: é uma identidade.

Passo 3

Aplicando essa identidade à lei de Ampère sem carga deslocante (válida só em estático)
nablatimesH=J,
a gente vê que
0=nablacdot(nablatimesH)=nablacdotJ
Ou seja, essa forma de Ampère força .

Passo 4

Mas a equação de continuidade, que é a expressão matemática da conservação de carga, afirma
nablacdotJ=-partial rhoVpartial t
Se a densidade de carga muda com o tempo ( ), temos . Aí nasce o conflito: Ampère “puro” pede divergência nula, continuidade de carga pede divergência igual a .

Passo 5

Maxwell sacou que a solução é corrigir a lei de Ampère, acrescentando um termo extra – a corrente de deslocamento – que compensa a variação de carga. A lei completa (ley de Ampère–Maxwell) fica:
boxednablatimesH = J + partial Dpartial t
Aqui é o deslocamento elétrico, e atua como uma corrente “fantasma” que garante consistência.

Passo 6

Vamos conferir divergindo os dois lados:
nablacdot(nablatimesH) = nablacdotJ + nablacdotpartialDpartial t ;Longrightarrow;0 = nablacdotJ + partialpartial t(nablacdotD)
Mas, pela definição de densidade de carga, 0 = nablacdotJ + partial rhoVpartial t ;Longrightarrow;nablacdotJ=-partial rhoVpartial t, . Logo
que é exatamente a equação de continuidade. Beleza, tudo bate!

Resposta

Para remover a incompatibilidade em campos variantes no tempo, a lei de Ampère é modificada para
boxednablatimesH = J + partial Dpartial t!,
onde o termo é a corrente de deslocamento que faz as equações ficarem consistentes.

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