Para os campos de velocidade apresentados abaixo, determine:
se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando sua resposta. (As constantes
e c são constantes reais.)
se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando sua resposta. (As constantes
e c são constantes reais.)
se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando sua resposta. (As constantes
se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando sua resposta. (As constantes
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidades
As constantes
são reais (nota: nesta expressão só aparecem
e
). O que é pedido:
- Determinar se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando.
- Determinar se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando.
Passo 2
O que significa “dimensionalidade” do escoamento (explicando devagar):
- Um escoamento é unidimensional se só há movimento (velocidade) numa direção (ex.: só componente em
), ou seja, as outras componentes são zero em todo o domínio relevante. - É bidimensional se há movimento em duas direções (duas componentes de velocidade não nulas).
- É tridimensional se há movimento em todas as três direções (três componentes não nulas).
Importante: não importa se uma componente é espacialmente uniforme; basta que seja diferente de zero para existir movimento nessa direção e, portanto, aumentar a dimensionalidade do escoamento.
Passo 3
Identificando as componentes do campo dado:
- componente em
(denotada ): , - componente em
(denotada ): , - componente em
(denotada ): (não aparece termo em ).
Passo 4
Raciocínio sobre dimensionalidade usando o que encontramos:
- Como existe uma componente
não nula e uma componente não nula (em geral, a não ser que ou em casos especiais), há movimento nas direções e . - Não há componente em
( ), logo não há movimento na terceira direção.
Pela definição, isso caracteriza um escoamento bidimensional (duas direções com movimento).
Passo 5
O que significa “permanente” (estacionário) vs “não permanente” (transiente):
- Um escoamento é permanente se a velocidade em cada ponto do espaço não muda com o tempo. Matematicamente, isso quer dizer que
em todo o domínio.
- Se existir alguma dependência explícita do tempo tal que a derivada parcial temporal não seja nula, o escoamento é não permanente (transiente).
Passo 6
Calcular a derivada parcial temporal do campo (passo a passo):
- A primeira parcela:
porque não depende de . - A segunda parcela:
.
Portanto
Esse vetor só é identicamente nulo para todo
se
para todo
, o que só ocorre no caso degenerado
. Para um
genérico (não nulo) e tempos
, a derivada parcial é diferente de zero, logo o campo depende do tempo e o escoamento é não permanente (transiente).
Passo 7
Observações sobre casos especiais (úteis para prova; leia com calma):
- Se
, então e (constante). Nesse caso o campo reduz-se a , que é unidimensional e permanente. - Se
e , então e : o movimento ocorre só em mas depende do tempo, portanto unidimensional (apenas ) e transiente. - Na formulação geral com
e arbitrários (não impostos a zero), a conclusão do Passo 4 e do Passo 6 vale: duas componentes não nulas e dependência temporal presente.
Passo 8
Respira fundo: a conclusão geral é simples quando se pensa componente a componente — conta quantas direções têm velocidade não nula e vê se existe dependência explícita em
. Vai dar tudo certo na prova!
Resposta
Bidimensional
Não permanente (transiente)