Para os campos de velocidade apresentados abaixo, determine:
se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando sua resposta. (As constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} e c são constantes reais.)
se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando sua resposta. (As constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} e c são constantes reais.)
\vec{V}=\left[a e^{-b x}\right] \hat{i}+b t^{2} \hat{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
\vec{V}=\bigl[a e^{-b x}\bigr]\hat{i}+b t^{2}\hat{j}.
As constantes \,a,b,c\, são reais (nota: nesta expressão só aparecem \,a e \,b). O que é pedido:
  • Determinar se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando.
  • Determinar se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando.

Passo 2

O que significa “dimensionalidade” do escoamento (explicando devagar):
  • Um escoamento é unidimensional se só há movimento (velocidade) numa direção (ex.: só componente em x), ou seja, as outras componentes são zero em todo o domínio relevante.
  • É bidimensional se há movimento em duas direções (duas componentes de velocidade não nulas).
  • É tridimensional se há movimento em todas as três direções (três componentes não nulas).
    Importante: não importa se uma componente é espacialmente uniforme; basta que seja diferente de zero para existir movimento nessa direção e, portanto, aumentar a dimensionalidade do escoamento.

Passo 3

Identificando as componentes do campo dado:
  • componente em x (denotada u): u(x,t)=a e^{-b x},
  • componente em y (denotada v): v(x,t)=b t^{2},
  • componente em z (denotada w): w=0 (não aparece termo em \hat{k}).

Passo 4

Raciocínio sobre dimensionalidade usando o que encontramos:
  • Como existe uma componente u não nula e uma componente v não nula (em geral, a não ser que a=0 ou b=0 em casos especiais), há movimento nas direções x e y.
  • Não há componente em z ( w=0), logo não há movimento na terceira direção.
    Pela definição, isso caracteriza um escoamento bidimensional (duas direções com movimento).

Passo 5

O que significa “permanente” (estacionário) vs “não permanente” (transiente):
  • Um escoamento é permanente se a velocidade em cada ponto do espaço não muda com o tempo. Matematicamente, isso quer dizer que
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\vec{0}
em todo o domínio.
  • Se existir alguma dependência explícita do tempo tal que a derivada parcial temporal não seja nula, o escoamento é não permanente (transiente).

Passo 6

Calcular a derivada parcial temporal do campo (passo a passo):
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(a e^{-b x}\bigr)\hat{i} + \frac{\partial}{\partial t}\bigl(b t^{2}\bigr)\hat{j}.
  • A primeira parcela: \dfrac{\partial}{\partial t}\bigl(a e^{-b x}\bigr)=0 porque a e^{-b x} não depende de t.
  • A segunda parcela: \dfrac{\partial}{\partial t}\bigl(b t^{2}\bigr)=2 b t.
    Portanto
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=0\cdot\hat{i}+2 b t\,\hat{j}=2 b t\,\hat{j}.
Esse vetor só é identicamente nulo para todo (x,t) se 2 b t\equiv 0 para todo t, o que só ocorre no caso degenerado b=0. Para um b genérico (não nulo) e tempos t\neq 0, a derivada parcial é diferente de zero, logo o campo depende do tempo e o escoamento é não permanente (transiente).

Passo 7

Observações sobre casos especiais (úteis para prova; leia com calma):
  • Se b=0, então v=b t^{2}=0 e u=a e^{-b x}=a (constante). Nesse caso o campo reduz-se a \vec V = a\hat{i}, que é unidimensional e permanente.
  • Se a=0 e b\neq 0, então u=0 e v=b t^{2}\neq 0: o movimento ocorre só em y mas depende do tempo, portanto unidimensional (apenas y) e transiente.
  • Na formulação geral com a e b arbitrários (não impostos a zero), a conclusão do Passo 4 e do Passo 6 vale: duas componentes não nulas e dependência temporal presente.

Passo 8

Respira fundo: a conclusão geral é simples quando se pensa componente a componente — conta quantas direções têm velocidade não nula e vê se existe dependência explícita em t. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

Bidimensional
Não permanente (transiente)

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