O perfil de velocidade na camada limite viscosa pode ser aproximado por uma equação cúbica:
u(y)=a+b\left(\frac{y}{\delta}\right)+c\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}
onde \delta é a espessura da camada limite e U é a velocidade do escoamento livre. Sabe-se que na borda da camada limite (y=\delta), a velocidade é igual à do escoamento livre ( u=U ), e que a tensão de cisalhamento é nula nesse ponto. Determine os valores das constantes a, b e c, utilizando as condições de contorno apropriadas.

Passo 1

O enunciado dá um perfil cúbico de velocidade na direção y:
u(y)=a+b\left(\frac{y}{\delta}\right)+c\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3},
onde \delta é a espessura da camada limite e U é a velocidade do escoamento livre. As informações e o que é pedido são:
  • Condições fornecidas no enunciado:
    • Na borda da camada limite ( y=\delta), a velocidade é igual à do escoamento livre: u(\delta)=U.
    • Na borda da camada limite ( y=\delta), a tensão de cisalhamento é nula.
  • Condição física adicional necessária (e usualmente implícita para escoamento com parede fixa):
    • No bordo da parede ( y=0) vale a condição de não deslizamento (no-slip): u(0)=0.
  • O que se pede:
    • Determinar os valores das constantes a, b e c que aparecem no perfil cúbico, usando as condições de contorno apropriadas acima.

Passo 2

Interpretação das condições de contorno em termos matemáticos (sem resolver ainda):
  • A condição u(0)=0 aplicada na expressão de u(y) dá uma equação entre a,b,c.
  • A condição u(\delta)=U aplicada na expressão de u(y) dá outra equação.
  • A condição “tensão de cisalhamento nula em y=\delta” significa que a derivada da velocidade em relação a y é zero naquele ponto, pois para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento na direção x é proporcional a \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}. Logo matematicamente usaremos \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=\delta}=0, que fornece a terceira equação.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} necessária para a condição de cisalhamento. Usamos regra da cadeia para a função de \left(\dfrac{y}{\delta}\right):
Começando de
u(y)=a+b\left(\frac{y}{\delta}\right)+c\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3},
a derivada é
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = b\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{y}{\delta}\right) + c\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}.
Como \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\dfrac{y}{\delta}\right)=\dfrac{1}{\delta} e \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{3}=3\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{\delta}, obtemos
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\frac{b}{\delta}+3c\frac{y^{2}}{\delta^{3}}.
Explicação curta da física: para fluido newtoniano em regime laminar a tensão de cisalhamento \tau_{xy} é proporcional à derivada de velocidade, \tau_{xy}=\mu\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}. Portanto \tau_{xy}=0 implica \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=0.

Passo 4

Aplicar a condição de não deslizamento na parede y=0:
Substituindo y=0 na expressão de u(y):
u(0)=a+b\left(\frac{0}{\delta}\right)+c\left(\frac{0}{\delta}\right)^{3}=a.
Mas sabemos que u(0)=0. Portanto
a=0.
Comentário didático: isso simplifica o perfil — o termo constante desaparece porque a velocidade na parede fixa é zero.

Passo 5

Aplicar a condição de cisalhamento nulo em y=\delta:
Usamos a derivada calculada no Passo 3 e avaliamos em y=\delta:
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=\delta}=\frac{b}{\delta}+3c\frac{\delta^{2}}{\delta^{3}}=\frac{b+3c}{\delta}.
Impondo \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=\delta}=0 segue
\frac{b+3c}{\delta}=0 \quad\Rightarrow\quad b+3c=0.
Explicação da etapa: dividimos por \delta (não nulo) e obtemos relação linear entre b e c.

Passo 6

Aplicar a condição de velocidade igual a U na borda y=\delta:
Substituindo y=\delta na expressão de u(y) e lembrando a=0:
u(\delta)=0+b\left(\frac{\delta}{\delta}\right)+c\left(\frac{\delta}{\delta}\right)^{3}=b+c.
Mas sabemos u(\delta)=U. Portanto
b+c=U.
Agora temos o sistema linear simples em b e c:
\begin{cases} b+3c=0,\\[4pt] b+c=U. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para b e c.
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar b não é direto; em vez disso, expressa-se b pela primeira equação:
b=-3c.
Substituindo em b+c=U:
-3c+c=U \quad\Rightarrow\quad -2c=U \quad\Rightarrow\quad c=-\frac{U}{2}.
Então
b=-3c=-3\left(-\frac{U}{2}\right)=\frac{3U}{2}.
Recordando a=0 do Passo 4, obtemos os três coeficientes.

Passo 8

Escrever o perfil final e verificar rapidamente consistência:
Os coeficientes encontrados são
a=0,\qquad b=\frac{3U}{2},\qquad c=-\frac{U}{2}.
O perfil fica
u(y)=\frac{3U}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)-\frac{U}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}.
Verificação rápida (só para confiança):
  • Em y=0: u=0 (ok).
  • Em y=\delta: u= \dfrac{3U}{2}\cdot 1 - \dfrac{U}{2}\cdot 1 = U (ok).
  • Derivada: \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{\delta}\!\left(\dfrac{3U}{2}-\dfrac{3U}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}\right). Em y=\delta isso é zero (ok).
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas seguir as condições fiz o sistema ficar bem fácil — é assim que essas aproximações cúbicas geralmente são usadas na camada limite.

Resposta

a=0
b=\dfrac{3U}{2}
c=-\dfrac{U}{2}

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