onde \delta é a espessura da camada limite e U é a velocidade do escoamento livre. Sabe-se que na borda da camada limite (y=\delta), a velocidade é igual à do escoamento livre ( u=U ), e que a tensão de cisalhamento é nula nesse ponto. Determine os valores das constantes a, b e c, utilizando as condições de contorno apropriadas.
Passo 1
O enunciado dá um perfil cúbico de velocidade na direção y:
onde \delta é a espessura da camada limite e U é a velocidade do escoamento livre. As informações e o que é pedido são:
Condições fornecidas no enunciado:
Na borda da camada limite (y=\delta), a velocidade é igual à do escoamento livre: u(\delta)=U.
Na borda da camada limite (y=\delta), a tensão de cisalhamento é nula.
Condição física adicional necessária (e usualmente implícita para escoamento com parede fixa):
No bordo da parede (y=0) vale a condição de não deslizamento (no-slip): u(0)=0.
O que se pede:
Determinar os valores das constantes a, b e c que aparecem no perfil cúbico, usando as condições de contorno apropriadas acima.
Passo 2
Interpretação das condições de contorno em termos matemáticos (sem resolver ainda):
A condição u(0)=0 aplicada na expressão de u(y) dá uma equação entre a,b,c.
A condição u(\delta)=U aplicada na expressão de u(y) dá outra equação.
A condição “tensão de cisalhamento nula em y=\delta” significa que a derivada da velocidade em relação a y é zero naquele ponto, pois para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento na direção x é proporcional a \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}. Logo matematicamente usaremos \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=\delta}=0, que fornece a terceira equação.
Passo 3
Calcular a derivada \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} necessária para a condição de cisalhamento. Usamos regra da cadeia para a função de \left(\dfrac{y}{\delta}\right):
Como \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\dfrac{y}{\delta}\right)=\dfrac{1}{\delta} e \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{3}=3\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{\delta}, obtemos
Explicação curta da física: para fluido newtoniano em regime laminar a tensão de cisalhamento \tau_{xy} é proporcional à derivada de velocidade, \tau_{xy}=\mu\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}. Portanto \tau_{xy}=0 implica \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=0.
Passo 4
Aplicar a condição de não deslizamento na parede y=0:
Em y=\delta: u= \dfrac{3U}{2}\cdot 1 - \dfrac{U}{2}\cdot 1 = U (ok).
Derivada: \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{\delta}\!\left(\dfrac{3U}{2}-\dfrac{3U}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}\right). Em y=\delta isso é zero (ok).
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas seguir as condições fiz o sistema ficar bem fácil — é assim que essas aproximações cúbicas geralmente são usadas na camada limite.