Para os campos de velocidade apresentados abaixo, determine:
se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando sua resposta. (As constantes
e c são constantes reais.)
se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando sua resposta. (As constantes
e c são constantes reais.)
se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando sua resposta. (As constantes
se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando sua resposta. (As constantes
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
onde
,
(e
, que não aparece aqui) são constantes reais. Precisa-se responder duas perguntas:
- O escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional? Justificar.
- O escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente)? Justificar.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A única componente não nula é a componente na direção
(vetor unitário ). - Essa componente depende de
(variável espacial) e de (tempo) através de . - Não há dependência explícita de
nem de .
Passo 2
O que significa “unidimensional/bidimensional/tridimensional” (explicação didática e exemplos).
- Uma maneira prática e comum de classificar a dimensionalidade de um escoamento é contar o número de coordenadas espaciais das quais o campo de velocidade depende (ou, alternativamente, o número de componentes de velocidade não nulas). Vou explicar os dois critérios porque às vezes as aulas usam definições levemente diferentes.
Critério A — dependência espacial (mais usado em muitos exercícios):
- Se todas as componentes do campo dependem apenas de uma coordenada espacial (por exemplo só de
, ou só de ), diz-se que o escoamento é unidimensional. - Se dependem de duas coordenadas espaciais (por exemplo de
e ), é bidimensional. - Se dependem de
, é tridimensional.
Exemplos para fixar a ideia:
-
: depende só de → unidimensional. -
: depende de e → bidimensional. -
: depende de → tridimensional.
Critério B — número de componentes não nulas (outras aulas usam):
- Se apenas uma componente é não nula (por exemplo só
), costuma-se chamar unidimensional também. - Se duas componentes são não nulas, chama-se bidimensional, etc.
Vou usar principalmente o Critério A (dependência espacial), e comentarei a ligação com o Critério B — assim a resposta fica compatível com ambas as interpretações, caso o professor tenha preferência por uma delas.
Passo 3
Aplicando o critério à expressão dada (análise da dimensionalidade).
Escrevendo as componentes do campo:
Escrevendo as componentes do campo:
Observações:
- Spatialmente,
depende apenas de (não depende de nem de ). Logo o campo depende de apenas uma coordenada espacial ( ). Pelo Critério A, isto identifica um escoamento unidimensional. - Pelo Critério B também: há apenas uma componente não nula (
), portanto por esse critério também é apropriado chamar de unidimensional.
Conclusão sobre dimensionalidade: o escoamento é unidimensional (explicação: só uma componente de velocidade não nula e essa componente depende de uma única coordenada espacial,
).
Passo 4
O que significa “permanente (estacionário)” e como verificar (aula curtinha).
- Definição prática: um escoamento é permanente (ou estacionário) se o campo de velocidade não muda com o tempo em cada ponto do espaço; matematicamente isso quer dizer que a derivada parcial temporal do campo é nula:
- Se
para algum ponto, o escoamento é não permanente (transiente).
Passo 5
Calcular a derivada temporal do campo e tirar a conclusão sobre permanência.
Temos
Temos
Derivando em relação a
:
- Se
, então não é o vetor zero (a menos que ou em um ponto isolado), portanto o campo depende do tempo e o escoamento é não permanente (transiente). - Se
, então e que não depende de , logo o escoamento é permanente (estacionário). - Observação especial: se
o campo é nulo , que é estacionário também — caso trivial.
Passo 6
Resumo didático e intuição física curta (para lembrar na prova).
- A presença do fator
é o detector de dependência temporal: se esse fator varia no tempo (isto é, se ), a velocidade muda com e o escoamento é transiente. Se o fator desaparece e fica estacionário. - Como a única variação espacial está em
(e não em nem ), há apenas uma coordenada espacial relevante → unidimensional. Pense assim: a velocidade aponta sempre na direção , mas seu módulo varia apenas quando se move na direção ; isso é um perfil unidimensional transversal.
Resposta
Unidimensional.
Não permanente (transiente), exceto no caso especial (ou
), quando o escoamento é permanente (estacionário).
Não permanente (transiente), exceto no caso especial