Para os campos de velocidade apresentados abaixo, determine:
se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, justificando sua resposta. (As constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} e c são constantes reais.)
se o escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente), justificando sua resposta. (As constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} e c são constantes reais.)
\vec{V}=\left[a y^{2} e^{-b t}\right] \hat{i}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=\left[a\,y^{2}e^{-b t}\right]\hat{i},
onde a, b (e c, que não aparece aqui) são constantes reais. Precisa-se responder duas perguntas:
  1. O escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional? Justificar.
  2. O escoamento é permanente (estacionário) ou não permanente (transiente)? Justificar.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A única componente não nula é a componente na direção x (vetor unitário \hat{i}).
  • Essa componente depende de y (variável espacial) e de t (tempo) através de a\,y^{2}e^{-b t}.
  • Não há dependência explícita de x nem de z.

Passo 2

O que significa “unidimensional/bidimensional/tridimensional” (explicação didática e exemplos).
  • Uma maneira prática e comum de classificar a dimensionalidade de um escoamento é contar o número de coordenadas espaciais das quais o campo de velocidade depende (ou, alternativamente, o número de componentes de velocidade não nulas). Vou explicar os dois critérios porque às vezes as aulas usam definições levemente diferentes.
Critério A — dependência espacial (mais usado em muitos exercícios):
  • Se todas as componentes do campo dependem apenas de uma coordenada espacial (por exemplo só de x, ou só de y), diz-se que o escoamento é unidimensional.
  • Se dependem de duas coordenadas espaciais (por exemplo de x e y), é bidimensional.
  • Se dependem de x,y,z, é tridimensional.
Exemplos para fixar a ideia:
  • \vec{V}=U(x)\,\hat{i}: depende só de x → unidimensional.
  • \vec{V}=u(x,y)\,\hat{i}+v(x,y)\,\hat{j}: depende de x e y → bidimensional.
  • \vec{V}=u(x,y,z)\,\hat{i}+v(x,y,z)\,\hat{j}+w(x,y,z)\,\hat{k}: depende de x,y,z → tridimensional.
Critério B — número de componentes não nulas (outras aulas usam):
  • Se apenas uma componente é não nula (por exemplo só u\neq0), costuma-se chamar unidimensional também.
  • Se duas componentes são não nulas, chama-se bidimensional, etc.
Vou usar principalmente o Critério A (dependência espacial), e comentarei a ligação com o Critério B — assim a resposta fica compatível com ambas as interpretações, caso o professor tenha preferência por uma delas.

Passo 3

Aplicando o critério à expressão dada (análise da dimensionalidade).
Escrevendo as componentes do campo:
u(x,y,z,t)=a\,y^{2}e^{-b t},\qquad v(x,y,z,t)=0,\qquad w(x,y,z,t)=0.
Observações:
  • Spatialmente, u depende apenas de y (não depende de x nem de z). Logo o campo depende de apenas uma coordenada espacial ( y). Pelo Critério A, isto identifica um escoamento unidimensional.
  • Pelo Critério B também: há apenas uma componente não nula ( u), portanto por esse critério também é apropriado chamar de unidimensional.
Conclusão sobre dimensionalidade: o escoamento é unidimensional (explicação: só uma componente de velocidade não nula e essa componente depende de uma única coordenada espacial, y).

Passo 4

O que significa “permanente (estacionário)” e como verificar (aula curtinha).
  • Definição prática: um escoamento é permanente (ou estacionário) se o campo de velocidade não muda com o tempo em cada ponto do espaço; matematicamente isso quer dizer que a derivada parcial temporal do campo é nula:
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\vec{0}.
  • Se \partial\vec{V}/\partial t\neq\vec{0} para algum ponto, o escoamento é não permanente (transiente).

Passo 5

Calcular a derivada temporal do campo e tirar a conclusão sobre permanência.
Temos
\vec{V}=\bigl(a\,y^{2}e^{-b t}\bigr)\hat{i}.
Derivando em relação a t:
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(a\,y^{2}e^{-b t}\bigr)\hat{i}=a\,y^{2}\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-b t}\bigr)\hat{i}=a\,y^{2}(-b)e^{-b t}\,\hat{i}=-ab\,y^{2}e^{-b t}\,\hat{i}.
  • Se b\neq0, então \dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t} não é o vetor zero (a menos que y=0 ou a=0 em um ponto isolado), portanto o campo depende do tempo e o escoamento é não permanente (transiente).
  • Se b=0, então e^{-b t}=1 e \vec{V}=a\,y^{2}\hat{i} que não depende de t, logo o escoamento é permanente (estacionário).
  • Observação especial: se a=0 o campo é nulo \vec{V}=\vec{0}, que é estacionário também — caso trivial.

Passo 6

Resumo didático e intuição física curta (para lembrar na prova).
  • A presença do fator e^{-b t} é o detector de dependência temporal: se esse fator varia no tempo (isto é, se b\neq0), a velocidade muda com t e o escoamento é transiente. Se b=0 o fator desaparece e fica estacionário.
  • Como a única variação espacial está em y (e não em x nem z), há apenas uma coordenada espacial relevante → unidimensional. Pense assim: a velocidade aponta sempre na direção x, mas seu módulo varia apenas quando se move na direção y; isso é um perfil unidimensional transversal.

Resposta

Unidimensional.
Não permanente (transiente), exceto no caso especial b=0 (ou a=0), quando o escoamento é permanente (estacionário).

Exercícios relacionados