Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades a e b são constantes):
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\left[(\mathrm{ax}+\mathrm{t}) \mathrm{e}^{\mathrm{by}}\right] \mathrm{i}

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade
\overrightarrow{V}=\bigl[(ax+t)e^{by}\bigr]\,\mathbf{i},
onde a e b são constantes. Não há componentes nas direções \mathbf{j} e \mathbf{k} (ou seja, v=0 e w=0).
As perguntas que vou responder (escolhi as quantidades padrão pedidas para um campo de velocidade) são:
  • Calcular a divergência \nabla\cdot\overrightarrow{V}.
  • Calcular o rotor (vorticidade) \nabla\times\overrightarrow{V}.
  • Determinar as condições sobre a e b para que o escoamento seja incompressível e/ou irrotacional.
  • Calcular a aceleração material \dfrac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}.

Passo 2

Vou lembrar (didaticamente) as fórmulas e o que cada símbolo significa.
  • A componente do campo de velocidade na direção x (componente u) é
u(x,y,t) = (ax+t)e^{by}.
As outras componentes são v(x,y,t)=0 e w(x,y,t)=0.
  • Divergência: \nabla\cdot\overrightarrow{V} mede a taxa de expansão local do fluido. Em coordenadas cartesianas
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Se \nabla\cdot\overrightarrow{V}=0 para todo o domínio, o escoamento é incompressível.
  • Rotor (vorticidade): \nabla\times\overrightarrow{V} é um vetor que mede a rotação local do fluido. Em componentes:
\nabla\times\overrightarrow{V}=\Bigl(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\\ \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\\ \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr).
Se \nabla\times\overrightarrow{V}=\mathbf{0} o escoamento é irrotacional.
  • Aceleração material (derivada material): é a taxa de variação da velocidade seguindo uma partícula de fluido:
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\frac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}.
Aqui \dfrac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t} é a derivada parcial no tempo em ponto fixo e (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} é o termo convectivo: em coordenadas, quando só u é não nulo,
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}=u\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial x}+v\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial y}+w\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial z}=u\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial x},
porque v=w=0.

Passo 3

Calcular a divergência passo a passo.
Temos
u(x,y,t)=(ax+t)e^{by},\qquad v=0,\qquad w=0.
Compute \partial u/\partial x. A parte dependente de x em u é ax, então
\frac{\partial u}{\partial x} = a e^{by}.
As outras derivadas parciais são nulas:
\frac{\partial v}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
Portanto a divergência é
\nabla\cdot\overrightarrow{V} = \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} = a e^{by}.

Passo 4

Interpretação da divergência e condição de incompressibilidade.
A expressão \nabla\cdot\overrightarrow{V}=a e^{by} depende de y via e^{by}. Para que o escoamento seja incompressível (divergência zero em todo o domínio) é necessário e suficiente que
a e^{by}=0\quad\text{para todo }y.
Como e^{by}\neq0 para todo y, isso implica a=0. Resumo: o escoamento é incompressível se, e somente se, a=0 (independente de b).

Passo 5

Calcular o rotor (vorticidade) detalhadamente.
Usando a fórmula de componentes e sabendo que v=w=0,
\nabla\times\overrightarrow{V}=\Bigl(0,\\\ 0,\\ \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)=\Bigl(0,\\\ 0,\\\ -\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr).
Agora calcule \partial u/\partial y. Temos u=(ax+t)e^{by}, derivando em y:
\frac{\partial u}{\partial y}=(ax+t)\,b e^{by}=b(ax+t)e^{by}.
Logo
\nabla\times\overrightarrow{V}=\bigl(0,\\\ 0,\\\ -b(ax+t)e^{by}\bigr).

Passo 6

Interpretação da vorticidade e condição de irrotacionalidade.
A vorticidade é nula (escoamento irrotacional) se e somente se o componente z acima for zero para todo (x,y,t), isto é,
-b(ax+t)e^{by}=0\quad\text{para todo }x,y,t.
Novamente e^{by}\neq0, e ax+t não é identicamente zero para todos x,t (impossível para constantes a e para todos x,t), portanto a única possibilidade é
b=0.
Conclusão: o escoamento é irrotacional se, e somente se, b=0 (independente de a).

Passo 7

Calcular a aceleração material passo a passo.
Primeiro a derivada parcial no tempo:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl((ax+t)e^{by}\bigr)=1\cdot e^{by}=e^{by},
pois \partial(ax+t)/\partial t=1 e e^{by} é independente de t. Portanto
\frac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}=e^{by}\,\mathbf{i}.
Agora o termo convectivo (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}. Como só u é não nulo e as outras componentes são zero:
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}=u\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial x}.
Calcule \partial\overrightarrow{V}/\partial x. Só a componente i tem variação:
\frac{\partial u}{\partial x}=a e^{by},
portanto
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}=u\cdot \bigl(a e^{by}\bigr)\,\mathbf{i}=a(ax+t)e^{by}\,e^{by}\,\mathbf{i}=a(ax+t)e^{2by}\,\mathbf{i}.
Somando os termos,
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\frac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} =\bigl[e^{by}+a(ax+t)e^{2by}\bigr]\,\mathbf{i}.
Pode-se factorar e^{by} se quiser:
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=e^{by}\bigl[1+a(ax+t)e^{by}\bigr]\mathbf{i}.

Passo 8

Comentários sobre casos especiais (úteis na prova e intuição rápida).
  • Se a=0: então u=(t)e^{by}. Divergência fica 0 (incompressível). Rotor fica \nabla\times\overrightarrow{V}=(0,0,-b\,t e^{by}) (em geral não nulo se b\neq0). A aceleração é \dfrac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=e^{by}\mathbf{i} (pois o termo convectivo é zero quando a=0).
  • Se b=0: então u=ax+t. Divergência = a. Rotor = \mathbf{0} (irrotacional). Aceleração = \bigl[1+a(ax+t)\bigr]\mathbf{i}.
  • Se a=0 e b=0: u=t. Nesse caso divergência =0, rotor =0, aceleração =1\cdot\mathbf{i} (aceleração uniforme na direção x).

Resposta

\nabla\cdot\overrightarrow{V}=a e^{by}
\nabla\times\overrightarrow{V}=\bigl(0,\ 0,\ -b(ax+t)e^{by}\bigr)
Escoamento incompressível se, e somente se, a=0.
Escoamento irrotacional se, e somente se, b=0.
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\bigl[e{by}+a(ax+t)e{2by}\bigr],\mathbf{i}

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