Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades
e
são constantes):
Passo 1
O enunciado fornece o campo de velocidade
onde
e
são constantes. Não há componentes nas direções
e
(ou seja,
e
).
As perguntas que vou responder (escolhi as quantidades padrão pedidas para um campo de velocidade) são:
As perguntas que vou responder (escolhi as quantidades padrão pedidas para um campo de velocidade) são:
- Calcular a divergência
. - Calcular o rotor (vorticidade)
. - Determinar as condições sobre
e para que o escoamento seja incompressível e/ou irrotacional. - Calcular a aceleração material
.
Passo 2
Vou lembrar (didaticamente) as fórmulas e o que cada símbolo significa.
- A componente do campo de velocidade na direção
(componente ) é
As outras componentes são
e
.
- Divergência:
mede a taxa de expansão local do fluido. Em coordenadas cartesianas
Se
para todo o domínio, o escoamento é incompressível.
- Rotor (vorticidade):
é um vetor que mede a rotação local do fluido. Em componentes:
Se
o escoamento é irrotacional.
- Aceleração material (derivada material): é a taxa de variação da velocidade seguindo uma partícula de fluido:
Aqui
é a derivada parcial no tempo em ponto fixo e
é o termo convectivo: em coordenadas, quando só
é não nulo,
porque
.
Passo 3
Calcular a divergência passo a passo.
Temos
Compute
. A parte dependente de
em
é
, então
As outras derivadas parciais são nulas:
Portanto a divergência é
Passo 4
Interpretação da divergência e condição de incompressibilidade.
A expressão
depende de
via
. Para que o escoamento seja incompressível (divergência zero em todo o domínio) é necessário e suficiente que
Como
para todo
, isso implica
. Resumo: o escoamento é incompressível se, e somente se,
(independente de
).
Passo 5
Calcular o rotor (vorticidade) detalhadamente.
Usando a fórmula de componentes e sabendo que
,
Agora calcule
. Temos
, derivando em
:
Logo
Passo 6
Interpretação da vorticidade e condição de irrotacionalidade.
A vorticidade é nula (escoamento irrotacional) se e somente se o componente
acima for zero para todo
, isto é,
Novamente
, e
não é identicamente zero para todos
(impossível para constantes
e para todos
), portanto a única possibilidade é
Conclusão: o escoamento é irrotacional se, e somente se,
(independente de
).
Passo 7
Calcular a aceleração material passo a passo.
Primeiro a derivada parcial no tempo:
pois
e
é independente de
. Portanto
Agora o termo convectivo
. Como só
é não nulo e as outras componentes são zero:
Calcule
. Só a componente
tem variação:
portanto
Somando os termos,
Pode-se factorar
se quiser:
Passo 8
Comentários sobre casos especiais (úteis na prova e intuição rápida).
-
Se
: então . Divergência fica (incompressível). Rotor fica (em geral não nulo se ). A aceleração é (pois o termo convectivo é zero quando ). -
Se
: então . Divergência = . Rotor = (irrotacional). Aceleração = . -
Se
e : . Nesse caso divergência , rotor , aceleração (aceleração uniforme na direção ).
Resposta
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=a e^{by}
\nabla\times\overrightarrow{V}=\bigl(0,\ 0,\ -b(ax+t)e^{by}\bigr)
Escoamento incompressível se, e somente se,
.
Escoamento irrotacional se, e somente se,
.
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\bigl[e{by}+a(ax+t)e{2by}\bigr],\mathbf{i}