1. Determine o coeficiente de transferência de massa, k_{c}, para a transferência a partir de uma esfera de glicose de 0,3 \mathrm{~cm} de diâmetro, que é submersa em uma corrente aquosa de 25^{\circ} \mathrm{C}, fluindo a uma velocidade de 0,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A difusividade mássica da glicose em água a 25^{\circ} \mathrm{C} é igual a 6,9 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
    (a) Estime o coeficiente de transferência de massa.
    (b) Determine se o aumento do diâmetro da esfera de glicose ou o aumento da velocidade do fluxo de água afeta a magnitude do coeficiente de transferência de massa, k_{c}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Estimar o coeficiente de transferência de massa k_{c} para uma esfera de glicose de diâmetro 0,3\\ \mathrm{cm} submersa em água a 25^\circ\mathrm{C}, com velocidade do fluxo 0,15\\ \mathrm{m/s}. A difusividade mássica dada é 6{,}9\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • (b) Dizer se aumentar o diâmetro da esfera ou aumentar a velocidade do fluxo de água afeta a magnitude de k_{c} (e em que sentido).
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI):
  • diâmetro da esfera: d = 0{,}3\\ \mathrm{cm} = 0{,}003\\ \mathrm{m},
  • velocidade do fluido: U = 0{,}15\\ \mathrm{m/s},
  • difusividade mássica da glicose em água: D_{AB} = 6{,}9\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s},
  • temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (para buscar propriedades do fluido se necessário).
O enunciado não fornece propriedades como viscosidade cinemática do água, então vou usar valores típicos à temperatura dada (valores padrão conhecidos):
  • viscosidade cinemática da água a 25^\circ\mathrm{C}: \nu = 8{,}93\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 2

Escolha do método e conceitos básicos (explicação didática).
  • Para estimar k_{c} para uma esfera numa corrente, costuma-se usar correlações empíricas que relacionam números adimensionais: o número de Sherwood \mathrm{Sh}, o número de Reynolds \mathrm{Re} e o número de Schmidt \mathrm{Sc}.
  • Definições (cada variável explicada):
    • \mathrm{Re} = \dfrac{U d}{\nu}, onde U é a velocidade do fluido longe da esfera, d é o diâmetro da esfera e \nu é a viscosidade cinemática do fluido. \mathrm{Re} mede a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento.
    • \mathrm{Sc} = \dfrac{\nu}{D_{AB}}, onde D_{AB} é a difusividade mássica da espécie transportada. \mathrm{Sc} compara transporte viscoso e difusivo da massa.
    • \mathrm{Sh} = \dfrac{k_{c} d}{D_{AB}}, onde k_{c} é o coeficiente de transferência de massa que queremos estimar.
  • Correlação escolhida: a analogia de Ranz–Marshall (adaptada para massa) é muito usada para esferas: \mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.Explicação curta: o termo 2 corresponde ao transporte molecular (caso sem convecção) e o termo com \mathrm{Re}^{1/2}\mathrm{Sc}^{1/3} representa o acréscimo devido à convecção criada pelo escoamento em torno da esfera. Essa correlação é empírica e normalmente usada como estimativa prática (é bastante empregada em exercícios e em engenharia pra valores moderados de \mathrm{Re}).
Observação importante (transparência): a correlação foi originalmente ajustada para certas faixas de \mathrm{Re} (tipicamente até algumas centenas). Vou calcular \mathrm{Re} e \mathrm{Sc} e, se \mathrm{Re} sair moderado, usaremos normalmente; se estiver muito fora, mencionarei a limitação.

Passo 3

Calcular \mathrm{Re} e \mathrm{Sc} com os dados fornecidos e o valor típico de \nu.
Cálculo de \mathrm{Re}:
\mathrm{Re}=\dfrac{U d}{\nu}=\dfrac{0{,}15\cdot0{,}003}{8{,}93\times10^{-7}}.
Fazendo a conta:
\mathrm{Re}=\dfrac{0{,}00045}{8{,}93\times10^{-7}}\approx 503{,}9\approx 504.
Cálculo de \mathrm{Sc}:
\mathrm{Sc}=\dfrac{\nu}{D_{AB}}=\dfrac{8{,}93\times10^{-7}}{6{,}9\times10^{-10}}.
Fazendo a conta:
\mathrm{Sc}\approx 1293{,}9\approx 1{,}294\times10^{3}.
Comentário: \mathrm{Re}\approx504 é um valor moderado/alto (acima de 200), então a correlação Ranz–Marshall ainda pode ser usada como estimate, porém com alguma incerteza. Para um problema de prova este procedimento e correlação são os esperados.

Passo 4

Aplicar a correlação de Ranz–Marshall para obter \mathrm{Sh}.
Primeiro calcule \mathrm{Re}^{1/2} e \mathrm{Sc}^{1/3}:
\mathrm{Re}^{1/2}=\sqrt{504}\approx 22{,}45, \qquad \mathrm{Sc}^{1/3}\approx (1{,}294\times10^{3})^{1/3}\approx 10{,}90.
Agora a correlação:
\mathrm{Sh}=2+0{,}6\cdot(22{,}45)\cdot(10{,}90).
Multiplicando:
0{,}6\cdot22{,}45\cdot10{,}90\approx 146{,}8,
portanto
\mathrm{Sh}\approx 2 + 146{,}8 = 148{,}8.

Passo 5

Converter \mathrm{Sh} em k_{c} usando \mathrm{Sh}=\dfrac{k_{c} d}{D_{AB}}. Assim:
k_{c} = \dfrac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d} = \dfrac{148{,}8\cdot 6{,}9\times10^{-10}}{0{,}003}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a conta:
k_{c}\approx 3{,}42\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas significativas úteis:
k_{c}\approx 3{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação qualitativa: como k_{c} varia com d e com U?
  • Use a forma aproximada dominante da correlação (quando o termo convectivo domina sobre o 2): \mathrm{Sh}\approx 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\mathrm{Sc}^{1/3}.
    • Substituindo \mathrm{Re}=\dfrac{U d}{\nu} e \mathrm{Sc}=\dfrac{\nu}{D_{AB}} e levando em conta k_{c}=\dfrac{\mathrm{Sh}D_{AB}}{d}, obtemos, por análise de dependência de potências (só para ver o sinal da dependência):
    k_{c}\propto \dfrac{D_{AB}}{d}\cdot (U d)^{1/2}\cdot(\nu^{-1/2})\cdot(\nu^{1/3}D_{AB}^{-1/3})Simplificando as potências de d: k_{c}\propto U^{1/2}\,d^{-1/2}\\ \times\\ (\text{fatores dependentes de }D_{AB}\text{ e }\nu).Dessa expressão de escala fica claro:
    • k_{c} cresce com a velocidade U aproximadamente como U^{1/2}. Portanto, aumentando a velocidade do fluxo a convecção aumenta e k_{c} aumenta.
    • k_{c} varia com o diâmetro d aproximadamente como d^{-1/2} (exponencial negativo), isto é, aumentando o diâmetro da esfera o coeficiente k_{c} diminui (para esferas maiores a espessura de camada limite relativa aumenta e o coeficiente superficial diminui).
  • Em palavras amigáveis: aumentar a velocidade ajuda a “arrancar” massa da superfície (aumenta k_{c}), enquanto fazer a esfera maior tende a reduzir a taxa por unidade de área (diminui k_{c}).

Resposta

k_{c}\approx 3{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}
O aumento do diâmetro da esfera tende a diminuir k_{c} (aproximadamente k_{c}\propto d^{-1/2}), enquanto o aumento da velocidade do fluxo aumenta k_{c} (aproximadamente k_{c}\propto U^{1/2}).

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