- Determine o coeficiente de transferência de massa,
, para a transferência a partir de uma esfera de glicose de
de diâmetro, que é submersa em uma corrente aquosa de
, fluindo a uma velocidade de
. A difusividade mássica da glicose em água a
é igual a
.
(a) Estime o coeficiente de transferência de massa.
(b) Determine se o aumento do diâmetro da esfera de glicose ou o aumento da velocidade do fluxo de água afeta a magnitude do coeficiente de transferência de massa,
.
(a) Estime o coeficiente de transferência de massa.
(b) Determine se o aumento do diâmetro da esfera de glicose ou o aumento da velocidade do fluxo de água afeta a magnitude do coeficiente de transferência de massa,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Estimar o coeficiente de transferência de massa
para uma esfera de glicose de diâmetro submersa em água a , com velocidade do fluxo . A difusividade mássica dada é . - (b) Dizer se aumentar o diâmetro da esfera ou aumentar a velocidade do fluxo de água afeta a magnitude de
(e em que sentido).
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI):
- diâmetro da esfera:
, - velocidade do fluido:
, - difusividade mássica da glicose em água:
, - temperatura:
(para buscar propriedades do fluido se necessário).
O enunciado não fornece propriedades como viscosidade cinemática do água, então vou usar valores típicos à temperatura dada (valores padrão conhecidos):
- viscosidade cinemática da água a
: .
Passo 2
Escolha do método e conceitos básicos (explicação didática).
- Para estimar
para uma esfera numa corrente, costuma-se usar correlações empíricas que relacionam números adimensionais: o número de Sherwood , o número de Reynolds e o número de Schmidt . - Definições (cada variável explicada):
-
, onde é a velocidade do fluido longe da esfera, é o diâmetro da esfera e é a viscosidade cinemática do fluido. mede a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento. -
, onde é a difusividade mássica da espécie transportada. compara transporte viscoso e difusivo da massa. -
, onde é o coeficiente de transferência de massa que queremos estimar.
-
- Correlação escolhida: a analogia de Ranz–Marshall (adaptada para massa) é muito usada para esferas:
Explicação curta: o termo corresponde ao transporte molecular (caso sem convecção) e o termo com representa o acréscimo devido à convecção criada pelo escoamento em torno da esfera. Essa correlação é empírica e normalmente usada como estimativa prática (é bastante empregada em exercícios e em engenharia pra valores moderados de ).
Observação importante (transparência): a correlação foi originalmente ajustada para certas faixas de
(tipicamente até algumas centenas). Vou calcular
e
e, se
sair moderado, usaremos normalmente; se estiver muito fora, mencionarei a limitação.
Passo 3
Calcular
e
com os dados fornecidos e o valor típico de
.
Cálculo de
:
Fazendo a conta:
Cálculo de
:
Fazendo a conta:
Comentário:
é um valor moderado/alto (acima de 200), então a correlação Ranz–Marshall ainda pode ser usada como estimate, porém com alguma incerteza. Para um problema de prova este procedimento e correlação são os esperados.
Passo 4
Aplicar a correlação de Ranz–Marshall para obter
.
Primeiro calcule
e
:
Agora a correlação:
Multiplicando:
portanto
Passo 5
Converter
em
usando
. Assim:
Fazendo a conta:
Arredondando com duas casas significativas úteis:
Passo 6
Interpretação qualitativa: como
varia com
e com
?
- Use a forma aproximada dominante da correlação (quando o termo convectivo domina sobre o
): . - Substituindo
e e levando em conta , obtemos, por análise de dependência de potências (só para ver o sinal da dependência):
Simplificando as potências de : Dessa expressão de escala fica claro: -
cresce com a velocidade aproximadamente como . Portanto, aumentando a velocidade do fluxo a convecção aumenta e aumenta. -
varia com o diâmetro aproximadamente como (exponencial negativo), isto é, aumentando o diâmetro da esfera o coeficiente diminui (para esferas maiores a espessura de camada limite relativa aumenta e o coeficiente superficial diminui).
- Substituindo
- Em palavras amigáveis: aumentar a velocidade ajuda a “arrancar” massa da superfície (aumenta
), enquanto fazer a esfera maior tende a reduzir a taxa por unidade de área (diminui ).
Resposta
O aumento do diâmetro da esfera tende a diminuir
(aproximadamente
), enquanto o aumento da velocidade do fluxo aumenta
(aproximadamente
).