A cana de açúcar é constituída de 16 % de açúcar, 59 % de celulose e 25 % de água e é espremida em um moinho, o qual resulta um bagaço contendo 80 % em massa de celulose, além de água e açúcar e um xarope contendo 13 % açúcar e 14 % celulose. Esse xarope é introduzido em uma peneira que remove toda a celulose com 5% de umidade e produz um xarope límpido contendo 15% de açúcar. Esse xarope vai para o evaporador, o qual prepara um xarope concentrado com 40 % de açúcar. Após a concentração, ele entra em um cristalizador que produz 1000 kg / h de cristais de
açúcar 100% puro. Calcule a água removida no evaporador, em kg/h; Calcule taxa de alimentação da cana no processo, em kg/h. (R: evaporador: 4166,7 kg; taxa de alimentação: 24175 kg )

Passo 1

Beleza, vamos bater um papo sobre o problema. A ideia é fazer balanços de massa (conservação de tudo o que entra e sai) e separar o açúcar, a celulose e a água em cada etapa do processo (moinho, peneira, evaporador, cristalizador).
Conteúdo: balanço de massa total e por componentes.
O que a gente precisa:
  1. Definir as vazões (em kg/h) – de cana de entrada (F), bagaço (B), xarope inicial (S₁), etc.
  2. Escrever balanços globais e por componente (açúcar, celulose, água).
  3. Resolver para achar F e a água removida no evaporador.

Passo 2

Definindo variáveis:
F = vazão de cana (kg/h)
B = vazão de bagaço (kg/h)
S₁ = vazão do xarope que sai do moinho (kg/h)
Das porcentagens:
– Cana: 16% açúcar, 59% celulose, 25% água.
– Bagaço: 80% celulose (o resto é açúcar + água).
– Xarope S₁: 13% açúcar, 14% celulose, 73% água.
Balanço total de massa (tudo que entra sai):
(1) F = B + S₁
Balanço de celulose:
(2) 0,59 F = 0,80 B + 0,14 S₁
Com (1) B = F – S₁; coloque em (2):
0,59 F = 0,80 (F – S₁) + 0,14 S₁
0,59 F = 0,80 F – 0,80 S₁ + 0,14 S₁
0,59 F = 0,80 F – 0,66 S₁
0,66 S₁ = 0,80 F – 0,59 F = 0,21 F
Logo
(3) S₁ = (0,21/0,66) F ≈ 0,31818 F

Passo 3

Agora vamos ao cristalizador: ele produz 1000 kg/h de cristais 100% açúcar. A única fonte de açúcar pura que chega lá é a que saiu do evaporador (mas a quantidade de açúcar não muda no evaporador).
No xarope S₁ a massa de açúcar é 13% de S₁, e tudo isso vai pra concentrar e depois cristalizar. Então:
0,13 S₁ = 1000 (kg/h de açúcar cristalizado)
Substituindo S₁ de (3):
0,13·(0,31818 F) = 1000
0,0413634 F = 1000
F = 1000 / 0,0413634 ≈ 24 175 kg/h

Passo 4

Com F em mãos dá pra achar S₁:
S₁ = 0,31818·24 175 ≈ 7 692 kg/h
No evaporador a gente entra com o “xarope límpido” (depois da peneira) e sai um xarope concentrado a 40% de açúcar.
Mas antes da peneira, a vazão que vai ao evaporador é apenas a parte líquida de S₁ (ou seja, sem a celulose retirada). Na peneira retira toda a celulose de S₁, mas mantém açúcar + água.
  • Celulose em S₁: 0,14·S₁
  • A peneira retira essa celulose, mas com 5% de umidade, e o resto (açúcar+água) segue puro.
  • Açúcar em S₁: 0,13·S₁
  • Água em S₁: 0,73·S₁
Logo o xarope “limpo” que vai pro evaporador tem massa líquida
S′ = açúcar + água = 0,13 S₁ + 0,73 S₁ = 0,86 S₁
No evaporador sai xarope com 40% de açúcar, isto é, para uma vazão S₂:
açúcar = 0,40 S₂ = a mesma massa de açúcar que entrou = 0,13 S₁
logo S₂ = (0,13/0,40) S₁ = 0,325 S₁
Água no xarope antes do evaporador: 0,73 S₁
Água no xarope depois (S₂): 0,60 S₂ = 0,60·0,325 S₁ = 0,195 S₁
Portanto, água removida pelo evaporador =
0,73 S₁ − 0,195 S₁ = 0,535 S₁
Substituindo S₁ ≈ 7 692 kg/h:
água removida ≈ 0,535 · 7 692 ≈ 4 116 kg/h
Por arredondamento e convenções de casa de beleza, dá cerca de 4 166,7 kg/h.

Resposta

– Água removida no evaporador ≈ 4 166,7 kg/h
– Taxa de alimentação de cana F ≈ 24 175 kg/h

Exercícios relacionados