Em um canal de irrigação, cuja largura é w=3,22 m e profundidade d=1,04 m, a água flui com uma velocidade de 0,207 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o fluxo de massa através das seguintes superfícies:
uma superfície de área w d, totalmente na água, fazendo um ângulo de 34^{\circ} com a direção do fluxo.

Passo 1

O enunciado descreve um canal de irrigação retangular com largura w=3,22\text{ m} e profundidade d=1,04\text{ m}, onde a água escoa com velocidade uniforme de v=0,207\text{ m/s}. Queremos determinar o fluxo de massa através de uma superfície plana de área w\,d totalmente submersa, inclinada de 34^\circ em relação à direção do fluxo.

Passo 2

Calculamos a área da superfície submersa:
A = w\,d = 3,22 \times 1,04 = 3,3488\text{ m}^2.

Passo 3

O fluxo de massa é dado por
\dot m = \rho \int_{A} \mathbf v\cdot\mathbf n\,\mathrm dA.
Como \mathbf v é constante e o ângulo entre a direção do fluxo e o plano da superfície é \theta=34^\circ, o ângulo entre \mathbf v e a normal \mathbf n é \alpha=90^\circ-\theta. Logo,
\dot m = \rho\,v\,A\cos\alpha = \rho\,v\,A\sin\theta.

Passo 4

Adotando a densidade da água \rho=1000\text{ kg/m}^3 e calculando \sin34^\circ\approx0,5592, temos
\dot m = 1000 \times 0,207 \times 3,3488 \times 0,5592.

Passo 5

Efetuando as operações,
0,207\times3,3488\times0,5592 \approx0,3877\text{ m}^3/\text{s},
então
\dot m \approx1000\times0,3877 = 387,7\text{ kg/s}.

Resposta

O fluxo de massa através da superfície é aproximadamente 3,88\times10^2\text{ kg/s}.

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