Um canal retangular de 3 m de largura transporta uma vazão de
com altura de água uniforme e igual a
. Em uma determinada seção, a largura é reduzida para produzir um ressalto hidráulico. Calcular a largura da constrição para que o ressalto se forme exatamente a montante da garganta. Despreze as perdas após o ressalto
Passo 1
O enunciado dá um canal retangular largo
com vazão
e altura de água uniforme a montante igual a
. Em uma seção há uma constrição (largura reduzida) que provoca um ressalto hidráulico; queremos calcular a largura
da constrição tal que o ressalto se forme exatamente a montante da garganta (isto é, o ressalto fica imediatamente antes da seção contrita). Dados e pedido:
-
. - Largura do canal a montante
. - Profundidade a montante (antes do ressalto)
. - Calcular
(largura da constrição) para que o ressalto ocorra exatamente na entrada da garganta.
Constantes que vamos usar: - Aceleração da gravidade
.
Passo 2
Ideia física e condição matemática que vamos usar (explicada devagar, tipo aula): se o ressalto ocorre exatamente montante da garganta, então a profundidade imediatamente a jusante do ressalto (profundidade sequente,
) deve ser igual à profundidade que o escoamento apresenta na garganta. Na garganta, por ser a seção mais estreita, o escoamento que passa por ela ficará em condição crítica quando o ressalto “encosta” na garganta (situação clássica de projeto de contrições). Logo a condição que impomos é:
onde
é a profundidade sequente do ressalto (obtida a partir de
) e
é a profundidade crítica na secção de largura
. Então o plano é:
- Calcular o número de Froude a montante e a profundidade sequente
usando a relação do ressalto em canal retangular. - Igualar
à profundidade crítica no trecho contrito e resolver para .
Passo 3
Calcular a velocidade e o número de Froude a montante. Primeiro a área e a velocidade a montante:
O número de Froude a montante é definido por
. Vamos calcular:
Comentário rápido: esse
confirma que o escoamento a montante é supercrítico, logo é fisicamente possível existir um ressalto logo à frente.
Passo 4
Derivar (ou justificar) a relação entre profundidades conjugadas (ressalto) para canal retangular e calcular
.
Explicação didática da fórmula: o ressalto é tratado aplicando a conservação do momento linear entre as seções antes e depois do salto (descartan-se trocas de quantidade de movimento com as paredes além da pressão hidrostática). Para canal de largura constante
(o ressalto ocorre antes da constrição, portanto a largura local do canal é a mesma
nessa região), a equação do momento por unidade de largura pode ser rearranjada em termos de descarga por unidade de largura
para obter a relação entre
e
:
Aqui:
-
é a vazão por unidade de largura (m^2/s). -
é a gravidade.
Essa equação algebricamente leva à forma direta para(conhecida para canal retangular):
onde
é o número de Froude a montante (o procedimento algébrico para reduzir a equação do momento a essa forma é padrão — se quiser eu descrevo cada passo algébrico).
Agora aplicamos a fórmula com o
calculado:
Calculemos passo a passo:
Portanto a profundidade sequente do ressalto é aproximadamente
.
Passo 5
Expressar a profundidade crítica na garganta em função da largura
e impor
.
Para canal retangular, a condição crítica (
) pode ser escrita usando a descarga por unidade de largura
. Em
temos
. Isolando
:
Impondo a condição do passo anterior
e resolvendo para
:
Passo 6
Calcular numericamente
com os valores já obtidos. Primeiro
:
Agora:
Calcule o denominador:
Arredondando de forma prática para projeto, obtemos