Um canal retangular de 3 m de largura transporta uma vazão de 14 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} com altura de água uniforme e igual a 0,60 \mathrm{~m}. Em uma determinada seção, a largura é reduzida para produzir um ressalto hidráulico. Calcular a largura da constrição para que o ressalto se forme exatamente a montante da garganta. Despreze as perdas após o ressalto

Passo 1

O enunciado dá um canal retangular largo 3\\ \text{m} com vazão Q=14\\ \mathrm{m^{3}/s} e altura de água uniforme a montante igual a y_1=0,60\\ \mathrm{m}. Em uma seção há uma constrição (largura reduzida) que provoca um ressalto hidráulico; queremos calcular a largura b da constrição tal que o ressalto se forme exatamente a montante da garganta (isto é, o ressalto fica imediatamente antes da seção contrita). Dados e pedido:
  • Q=14\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Largura do canal a montante B=3\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade a montante (antes do ressalto) y_1=0,60\\ \mathrm{m}.
  • Calcular b (largura da constrição) para que o ressalto ocorra exatamente na entrada da garganta.
    Constantes que vamos usar:
  • Aceleração da gravidade g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Ideia física e condição matemática que vamos usar (explicada devagar, tipo aula): se o ressalto ocorre exatamente montante da garganta, então a profundidade imediatamente a jusante do ressalto (profundidade sequente, y_2) deve ser igual à profundidade que o escoamento apresenta na garganta. Na garganta, por ser a seção mais estreita, o escoamento que passa por ela ficará em condição crítica quando o ressalto “encosta” na garganta (situação clássica de projeto de contrições). Logo a condição que impomos é:
y_2 = y_c(b),
onde y_2 é a profundidade sequente do ressalto (obtida a partir de y_1) e y_c(b) é a profundidade crítica na secção de largura b. Então o plano é:
  1. Calcular o número de Froude a montante e a profundidade sequente y_2 usando a relação do ressalto em canal retangular.
  2. Igualar y_2 à profundidade crítica y_c no trecho contrito e resolver para b.

Passo 3

Calcular a velocidade e o número de Froude a montante. Primeiro a área e a velocidade a montante:
A_1 = B\,y_1 = 3\cdot 0,60 = 1,80\\ \mathrm{m^2}.
V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{14}{1,80}\\ \mathrm{m/s} = 7,777\ldots\\ \mathrm{m/s}.
O número de Froude a montante é definido por \displaystyle Fr_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}}. Vamos calcular:
\sqrt{g\,y_1}=\sqrt{9,81\cdot0,60}=\sqrt{5,886}=2,426998\ldots
Fr_1=\frac{7,777\ldots}{2,426998\ldots}=3,2048\\ (\text{aprox.}).
Comentário rápido: esse Fr_1>1 confirma que o escoamento a montante é supercrítico, logo é fisicamente possível existir um ressalto logo à frente.

Passo 4

Derivar (ou justificar) a relação entre profundidades conjugadas (ressalto) para canal retangular e calcular y_2.
Explicação didática da fórmula: o ressalto é tratado aplicando a conservação do momento linear entre as seções antes e depois do salto (descartan-se trocas de quantidade de movimento com as paredes além da pressão hidrostática). Para canal de largura constante B (o ressalto ocorre antes da constrição, portanto a largura local do canal é a mesma B nessa região), a equação do momento por unidade de largura pode ser rearranjada em termos de descarga por unidade de largura q=\dfrac{Q}{B} para obter a relação entre y_1 e y_2:
\frac{q^2}{g}\left(\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}\right)=\frac{1}{2}\left(y_2^2-y_1^2\right).
Aqui:
  • q=\dfrac{Q}{B} é a vazão por unidade de largura (m^2/s).
  • g é a gravidade.
    Essa equação algebricamente leva à forma direta para y_2 (conhecida para canal retangular):
y_2=\frac{y_1}{2}\Big(\sqrt{1+8\,Fr_1^{2}}-1\Big),
onde Fr_1=\dfrac{V_1}{\sqrt{g y_1}} é o número de Froude a montante (o procedimento algébrico para reduzir a equação do momento a essa forma é padrão — se quiser eu descrevo cada passo algébrico).
Agora aplicamos a fórmula com o Fr_1 calculado:
y_2=\frac{0,60}{2}\Big(\sqrt{1+8\cdot(3,2048)^2}-1\Big).
Calculemos passo a passo:
Fr_1^{2}=(3,2048)^2=10,271.
1+8\,Fr_1^{2}=1+8\cdot10,271=1+82,168=83,168.
\sqrt{83,168}=9,1223\\ (\text{aprox.}).
\sqrt{1+8Fr_1^{2}}-1=9,1223-1=8,1223.
y_2=0,30\cdot 8,1223=2,4367\\ \mathrm{m}.
Portanto a profundidade sequente do ressalto é aproximadamente \displaystyle y_2=2,437\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Expressar a profundidade crítica na garganta em função da largura b e impor y_c(b)=y_2.
Para canal retangular, a condição crítica ( Fr=1) pode ser escrita usando a descarga por unidade de largura q=\dfrac{Q}{b}. Em Fr=1 temos q=\sqrt{g}\,y_c^{3/2}. Isolando y_c:
y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}=\left(\frac{(Q/b)^2}{g}\right)^{1/3}.
Impondo a condição do passo anterior y_2=y_c e resolvendo para b:
y_2=\left(\frac{(Q/b)^2}{g}\right)^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad (Q/b)^2 = g\,y_2^{3}
\Rightarrow \frac{Q}{b}=\sqrt{g}\,y_2^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{Q}{\sqrt{g}\,y_2^{3/2}}.

Passo 6

Calcular numericamente b com os valores já obtidos. Primeiro y_2^{3/2}:
y_2=2,4367\\ \mathrm{m},\qquad \sqrt{g}=\sqrt{9,81}=3,13209\\ (\text{aprox.}).
\sqrt{y_2}=\sqrt{2,4367}=1,5605\\ (\text{aprox.}),
y_2^{3/2}=y_2\sqrt{y_2}=2,4367\cdot1,5605=3,8000\\ (\text{aprox.}).
Agora:
b=\frac{Q}{\sqrt{g}\,y_2^{3/2}}=\frac{14}{3,13209\cdot 3,8000}.
Calcule o denominador:
3,13209\cdot 3,8000=11,9019\\ (\text{aprox.}),
b=\frac{14}{11,9019}=1,1766\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para projeto, obtemos
b\approx 1,18\\ \mathrm{m}.

Resposta

b=1,18\\ \mathrm{m}

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