(7 pontos) A operação (i+1)^{16} \cdot(1-i)^{-33} sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, tem como resultado o número
a) 1+\frac{i}{256}
b) 1+\frac{i}{512}
c) -1+\frac{i}{512}
(d) -1+\frac{i}{256}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do número complexo
(i+1)^{16}\cdot(1-i)^{-33},
sendo i a unidade imaginária ( i^2=-1). O enunciado também apresenta quatro alternativas:
\text{a) }1+\frac{i}{256},\qquad \text{b) }1+\frac{i}{512},\qquad \text{c) }-1+\frac{i}{512},\qquad \text{d) }-1+\frac{i}{256}.
O objetivo é achar explicitamente o valor de (i+1)^{16}\cdot(1-i)^{-33} e, em seguida, comparar com as alternativas.

Passo 2

Primeiro preciso transformar 1+i e 1-i em forma trigonométrica (ou polar). Vou explicar o que é isso:
  • Para um número complexo z=x+iy, o módulo é |z|=\sqrt{x^2+y^2}. O argumento \arg z é o ângulo \theta tal que \cos\theta=\dfrac{x}{|z|} e \sin\theta=\dfrac{y}{|z|}.
  • Em forma polar: z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta). Em forma exponencial: z=|z|e^{i\theta}.
  • A vantagem é que potências ficam fáceis com a fórmula de De Moivre: (r e^{i\theta})^n = r^n e^{i n\theta}, e potências negativas usam r^{-n} e^{-i n\theta}.
Agora aplico isso aos dois números:
  • Para 1+i: x=1,y=1 então |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.O argumento é \theta=\pi/4 (45°), pois \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2. Assim 1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
  • Para 1-i: x=1,y=-1 então |1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.O argumento principal é \theta=-\pi/4 (ou equivalently 7\pi/4), porque \cos(-\pi/4)=\sqrt{2}/2, \sin(-\pi/4)=-\sqrt{2}/2. Assim 1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}.

Passo 3

Agora aplico as potências usando De Moivre e a regra para expoente negativo:
  • Para (1+i)^{16}: (1+i)^{16}=(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4})^{16}=(\sqrt{2})^{16} \, e^{i\cdot 16\cdot \pi/4}.Calculo cada parte: (\sqrt{2})^{16}=(2^{1/2})^{16}=2^{8}=256. E o ângulo 16\cdot\pi/4=4\pi. Como e^{i4\pi}=\cos 4\pi + i\sin4\pi=1, obtemos (1+i)^{16}=256.(Isto significa um número real: 256+0i.)
  • Para (1-i)^{-33}: (1-i)^{-33}=(\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4})^{-33}=(\sqrt{2})^{-33}\, e^{i\cdot 33\cdot \pi/4}.Note que o expoente negativo inverte o sinal do ângulo: (e^{-i\pi/4})^{-33}=e^{i\cdot 33\pi/4}. Mantemos (\sqrt{2})^{-33}=2^{-33/2}.

Passo 4

Multiplico os dois resultados:
(1+i)^{16}\cdot(1-i)^{-33}=256\cdot 2^{-33/2}\, e^{i\cdot 33\pi/4}.
Simplifico a potência de 2 usando propriedades de expoentes:
256\cdot 2^{-33/2}=2^{8}\cdot 2^{-33/2}=2^{\frac{16}{2}-\frac{33}{2}}=2^{-\frac{17}{2}}.
Portanto o módulo do resultado é 2^{-17/2} e o argumento é dado por 33\pi/4. Agora simplifico o fator exponencial:
e^{i\cdot 33\pi/4}=e^{i\cdot(8\pi+\pi/4)}=e^{i\pi/4},
porque e^{i8\pi}=1. Assim
(1+i)^{16}\cdot(1-i)^{-33}=2^{-17/2}\, e^{i\pi/4}.

Passo 5

Converto de volta para a forma a+ib usando \cos e \sin:
2^{-17/2}\, e^{i\pi/4}=2^{-17/2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).
Como \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtenho
2^{-17/2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\;\bigl(1+i\bigr).
Agora simplifico o fator numérico:
2^{-17/2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-17/2}\cdot 2^{1/2}\cdot\frac{1}{2}=2^{-16/2}\cdot\frac{1}{2}=2^{-8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{512}.
Logo o número complexo final é
\frac{1}{512}\,(1+i)=\frac{1}{512}+\frac{i}{512}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas:
\text{a) }1+\frac{i}{256},\qquad \text{b) }1+\frac{i}{512},\qquad \text{c) }-1+\frac{i}{512},\qquad \text{d) }-1+\frac{i}{256},
o valor que encontrei \dfrac{1}{512}+\dfrac{i}{512} não coincide com nenhuma das quatro alternativas (todas as alternativas têm parte real igual a \pm 1, enquanto a parte real correta é \dfrac{1}{512}).

Resposta

\dfrac{1+i}{512}

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