(7 pontos) A operação
sendo
a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, tem como resultado o número
a)
b)
c)
(d)
a)
b)
c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor do número complexo
sendo
a unidade imaginária (
). O enunciado também apresenta quatro alternativas:
O objetivo é achar explicitamente o valor de
e, em seguida, comparar com as alternativas.
Passo 2
Primeiro preciso transformar
e
em forma trigonométrica (ou polar). Vou explicar o que é isso:
- Para um número complexo
, o módulo é . O argumento é o ângulo tal que e . - Em forma polar:
. Em forma exponencial: . - A vantagem é que potências ficam fáceis com a fórmula de De Moivre:
, e potências negativas usam .
Agora aplico isso aos dois números:
- Para
: então O argumento é (45°), pois . Assim - Para
: então O argumento principal é (ou equivalently ), porque , . Assim
Passo 3
Agora aplico as potências usando De Moivre e a regra para expoente negativo:
- Para
: Calculo cada parte: . E o ângulo . Como , obtemos (Isto significa um número real: .) - Para
: Note que o expoente negativo inverte o sinal do ângulo: . Mantemos .
Passo 4
Multiplico os dois resultados:
Simplifico a potência de
usando propriedades de expoentes:
Portanto o módulo do resultado é
e o argumento é dado por
. Agora simplifico o fator exponencial:
porque
. Assim
Passo 5
Converto de volta para a forma
usando
e
:
Como
, obtenho
Agora simplifico o fator numérico:
Logo o número complexo final é
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas:
o valor que encontrei
não coincide com nenhuma das quatro alternativas (todas as alternativas têm parte real igual a
, enquanto a parte real correta é
).