2- Em um canal retangular de 2,50 \mathrm{~m} de largura, declividade de fundo \mathrm{I} \mathrm{o}=0,0003 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}=0,013, escoa em regime permanente uniforme uma varʒ̃o de 3.0 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}. Determine: (a) A energia específica e o regime do escoamento; (b) A profundidade crítica, a energia específica crítica e a velocidade crítica. (3,33)

Passo 1

Identificar claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Determinar a energia específica e o regime do escoamento (subcrítico ou supercrítico).
  • (b) Determinar a profundidade crítica, a energia específica crítica e a velocidade crítica.
Dados fornecidos (vou reescrever de forma clara):
b = 2{,}50\\ \mathrm{m}
S_0 = 0{,}0003
n = 0{,}013
Q = 3{,}0\\ \mathrm{m^3/s}
Constante gravitacional que usaremos:
g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observações sobre o que cada pedido significa (só identificação, sem resolver ainda):
  • “Energia específica” E em um canal é E = y + \dfrac{V^2}{2g}, onde y é a profundidade e V a velocidade média.
  • “Regime do escoamento” refere-se a subcrítico (Fr < 1) ou supercrítico (Fr > 1), onde o número de Froude é \mathrm{Fr} = \dfrac{V}{\sqrt{g y}}.
  • A “profundidade normal” (para regime uniforme) precisa ser encontrada com a equação de Manning:
Q = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde, para seção retangular, A = b\,y e R = \dfrac{A}{P} = \dfrac{b y}{b + 2y}.
  • A profundidade crítica y_c numa seção retangular é obtida impondo \mathrm{Fr}=1 e relacionando Q, b, y_c.
Agora que o problema e os dados estão claros, eu vou começar a resolver passo a passo.

Passo 2

Encontrar a profundidade normal y_n usando a equação de Manning; explico a fórmula e as variáveis.
Fórmula de Manning (explicação): \;Q = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}.
  • Q é vazão (dada).
  • n é coeficiente de rugosidade de Manning (dado).
  • A é área molhada; para retângulo A = b\,y.
  • R é raio hidráulico; para retângulo R = \dfrac{b y}{b + 2y} porque o perímetro molhado é P = b + 2y.
  • S_0 é a declividade do fundo (dada).
Reescrevendo para isolar a parte que depende de y:
\frac{Q\,n}{\sqrt{S_0}} = A\,R^{2/3} = b\,y\left(\dfrac{b y}{b + 2y}\right)^{2/3}.
O membro esquerdo é um valor conhecido; daí resolvemos numericamente para y.
Calcular o membro esquerdo:
\sqrt{S_0} = \sqrt{0{,}0003} \approx 0{,}0173205,
Q\,n = 3{,}0 \times 0{,}013 = 0{,}039,
L \equiv \dfrac{Q\,n}{\sqrt{S_0}} \approx \dfrac{0{,}039}{0{,}0173205} \approx 2{,}252.
Agora precisamos achar y que satisfaz
b\,y\left(\dfrac{b y}{b + 2y}\right)^{2/3} = L \approx 2{,}252,
com b = 2{,}50.

Passo 3

Resolver numericamente a equação de Manning por tentativas (método prático que se aplica sem calculadora científica avançada): testar valores de y e interpolar; explico cada cálculo.
Defino a função para testar:
F(y) = b\,y\left(\dfrac{b y}{b + 2y}\right)^{2/3}.
Testes (vou mostrar cálculo em cada tentativa para você poder repetir na prova usando mesma ideia):
  1. y = 1{,}00\\ \mathrm{m}:
A = b y = 2{,}50\times 1{,}00 = 2{,}50\\ \mathrm{m^2},
P = b + 2y = 2{,}50 + 2{,}00 = 4{,}50\\ \mathrm{m},
R = \dfrac{2{,}50}{4{,}50} \approx 0{,}5556,
R^{2/3} \approx 0{,}5556^{2/3} \approx 0{,}6756,
F(1{,}00) = 2{,}50 \times 0{,}6756 \approx 1{,}689 < 2{,}252.
  1. y = 1{,}50\\ \mathrm{m}:
A = 3{,}75,\quad P = 5{,}50,\quad R = 0{,}68182,
R^{2/3}\approx 0{,}7746,
F(1{,}50)=3{,}75\times 0{,}7746 \approx 2{,}904 > 2{,}252.
Logo y_n está entre 1{,}00 e 1{,}50.
  1. y = 1{,}20\\ \mathrm{m}:
A = 2{,}50\times 1{,}20 = 3{,}00,
P = 2{,}50 + 2{,}40 = 4{,}90,\quad R = \dfrac{3{,}00}{4{,}90}\approx 0{,}61224,
R^{2/3}\approx 0{,}7204,
F(1{,}20)=3{,}00\times 0{,}7204 \approx 2{,}161.
  1. y = 1{,}25\\ \mathrm{m}:
A = 3{,}125,\quad P = 5{,}00,\quad R = 0{,}625,
R^{2/3}\approx 0{,}7313,
F(1{,}25)=3{,}125\times 0{,}7313 \approx 2{,}285.
Vemos que em y=1{,}20 obtemos 2{,}161 (abaixo de L) e em y=1{,}25 obtemos 2{,}285 (acima de L). Interpolando linearmente entre esses dois valores para L=2{,}252:
fração = \dfrac{2{,}252-2{,}161}{2{,}285-2{,}161} \approx \dfrac{0{,}091}{0{,}124} \approx 0{,}734.
Aproximação de y_n:
y_n \approx 1{,}20 + 0{,}05\times 0{,}734 \approx 1{,}237\\ \mathrm{m}.
Portanto a profundidade normal é aproximadamente
\boxed{y_n \approx 1{,}237\\ \mathrm{m}}.

Passo 4

Calcular a velocidade média V_n na profundidade normal e a energia específica E; explicar as fórmulas.
Velocidade média:
A_n = b\,y_n = 2{,}50\times 1{,}237 \approx 3{,}0925\\ \mathrm{m^2},
V_n = \dfrac{Q}{A_n} = \dfrac{3{,}0}{3{,}0925} \approx 0{,}970\\ \mathrm{m/s}.
Energia específica:
E = y + \dfrac{V^2}{2g}.
Explicação: a energia específica é a soma da cota de energia devido à profundidade y (energia potencial por peso) e da energia cinética por peso \dfrac{V^2}{2g}.
Calcular o termo cinético:
\dfrac{V_n^2}{2g} = \dfrac{(0{,}970)^2}{2\times 9{,}81} \approx \dfrac{0{,}941}{19{,}62} \approx 0{,}0480\\ \mathrm{m}.
Logo
E_n = y_n + \dfrac{V_n^2}{2g} \approx 1{,}237 + 0{,}0480 \approx 1{,}285\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar o regime do escoamento (usar número de Froude) e interpretar o resultado.
Número de Froude:
\mathrm{Fr} = \dfrac{V}{\sqrt{g y}}.
Cálculo:
\sqrt{g y_n} = \sqrt{9{,}81\times 1{,}237} \approx \sqrt{12{,}134} \approx 3{,}485\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{Fr} = \dfrac{0{,}970}{3{,}485} \approx 0{,}279.
Interpretação: \mathrm{Fr} < 1 → escoamento subcrítico (ou regime tranquilo). Então a corrente é subcrítica.

Passo 6

Calcular a profundidade crítica y_c para seção retangular; explico a derivação da fórmula usada.
Condição de critério: \mathrm{Fr} = 1 em canal aberto. Para retângulo, V = \dfrac{Q}{b y}. Impor V = \sqrt{g y_c} dá:
\dfrac{Q}{b y_c} = \sqrt{g y_c}.
Elevando ao quadrado:
\dfrac{Q^2}{b^2 y_c^2} = g y_c \quad\Rightarrow\quad Q^2 = b^2 g y_c^3.
Assim:
y_c = \left(\dfrac{Q^2}{b^2 g}\right)^{1/3}.
Calcular numericamente:
Q^2 = 3{,}0^2 = 9{,}0,
b^2 g = (2{,}50)^2 \times 9{,}81 = 6{,}25\times 9{,}81 \approx 61{,}3125,
\dfrac{Q^2}{b^2 g} \approx \dfrac{9{,}0}{61{,}3125} \approx 0{,}1469,
y_c \approx (0{,}1469)^{1/3} \approx 0{,}528\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a velocidade crítica V_c e a energia específica crítica E_c; mostrar por que E_c = \tfrac{3}{2} y_c num retângulo.
Velocidade crítica:
pela definição em regime crítico V_c = \sqrt{g y_c}.
V_c = \sqrt{9{,}81\times 0{,}528} \approx \sqrt{5{,}179} \approx 2{,}276\\ \mathrm{m/s}.
Energia específica crítica:
em crítico, V_c^2 = g y_c. Então
E_c = y_c + \dfrac{V_c^2}{2g} = y_c + \dfrac{g y_c}{2g} = y_c + \dfrac{y_c}{2} = \dfrac{3}{2}\,y_c.
Logo
E_c = \dfrac{3}{2}\times 0{,}528 \approx 0{,}792\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Resumo numérico final (vou já preparar os valores finais para conferência rápida).
Calculados:
y_n \approx 1{,}237\\ \mathrm{m},
V_n \approx 0{,}970\\ \mathrm{m/s},
E_n \approx 1{,}285\\ \mathrm{m},
\mathrm{Fr} \approx 0{,}279 \Rightarrow \text{subcrítico},í
y_c \approx 0{,}528\\ \mathrm{m},
V_c \approx 2{,}276\\ \mathrm{m/s},
E_c \approx 0{,}792\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Energia específica E \approx 1{,}285\\ \mathrm{m}. Regime: escoamento subcrítico (tranquilo), pois \mathrm{Fr}\approx 0{,}279<1.
(b) Profundidade crítica y_c \approx 0{,}528\\ \mathrm{m}. Energia específica crítica E_c \approx 0{,}792\\ \mathrm{m}. Velocidade crítica V_c \approx 2{,}276\\ \mathrm{m/s}.

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