1- Um canal retangular deve transportar em regime permanente uniforme uma vazão de 3,25 \mathrm{m} 3 / \mathrm{s} com declividade \mathrm{l}_{0}=0,0005 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. O revestimento é alvenaria de pedra argamassada em condições regulares (coeficiente n= 0,025 ). Determine a profundidade normal ( y_{0} ) e a largura do fundo do canal ( b ). (3,33)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a profundidade normal y_{0} e a largura do fundo b de um canal retangular que deve transportar uma vazão dada, com declividade e revestimento conhecidos, trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado.
Dados fornecidos:
Q = 3{,}25\\ \mathrm{m^{3}/s}
S_{0} = 0{,}0005\\ (\mathrm{m/m})
n = 0{,}025
Condições impostas pelo enunciado:
  • seção retangular;
  • seção escolhida de modo a ter mínimo perímetro molhado (condição usada para otimizar a forma: isto impõe uma relação entre b e y).
    O que se pede:
  • calcular a profundidade normal \,y_{0}\,;
  • calcular a largura do fundo \,b.

Passo 2

Decidimos usar a fórmula de Manning para fluxo uniforme em canal aberto, porque o problema fala de “profundidade normal” e “regime permanente uniforme” — isso é exatamente o contexto da fórmula de Manning. Além disso o enunciado exige a seção de “mínimo perímetro molhado”, então vamos primeiro achar a relação geométrica entre b e y que minimiza o perímetro molhado para uma seção retangular; depois usamos essa relação na equação de Manning para obter y_{0} e b.
Vou lembrar a fórmula de Manning e explicar cada termo:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_{0}^{1/2}
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^{2}});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R = \dfrac{A}{P}, sendo P o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S_{0} é a declividade do fundo (adimensional).

Passo 3

Encontre a condição geométrica de mínimo perímetro molhado para a seção retangular.
Para uma seção retangular com largura de fundo b e profundidade y:
A = b\,y
P = b + 2y
A condição “mínimo perímetro molhado” para uma dada área A significa: minimizar P sujeito a A fixo. Usamos cálculo com restrição (ou substituímos b = A/y). Vou fazer substituição e derivar em relação a y.
Escrevendo P em função de y e A:
b = \frac{A}{y}\quad\Rightarrow\quad P(y) = \frac{A}{y} + 2y
Derivando P em relação a y e igualando a zero para mínimo:
\frac{dP}{dy} = -\frac{A}{y^{2}} + 2 = 0
\Rightarrow 2 = \frac{A}{y^{2}} \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \frac{A}{2}
\Rightarrow y = \sqrt{\frac{A}{2}}
Agora b = A / y, então:
b = \frac{A}{\sqrt{A/2}} = \sqrt{2A}
Dividindo b por y:
\frac{b}{y} = \frac{\sqrt{2A}}{\sqrt{A/2}} = 2
Logo a relação para mínimo perímetro molhado é
\boxed{b = 2\,y}
ou seja, a largura do fundo deve ser o dobro da profundidade.

Passo 4

Expresse A, P e R em função somente de y usando b=2y.
Substituindo b=2y:
A = b\,y = (2y)\,y = 2y^{2}
P = b + 2y = 2y + 2y = 4y
R = \frac{A}{P} = \frac{2y^{2}}{4y} = \frac{y}{2}

Passo 5

Substitua A e R na fórmula de Manning e isole y.
A fórmula de Manning:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_{0}^{1/2}
Substituindo A=2y^{2} e R=y/2:
Q = \frac{1}{n}\,(2y^{2})\left(\frac{y}{2}\right)^{2/3}S_{0}^{1/2}
Calculemos a parte algébrica:
\left(\frac{y}{2}\right)^{2/3} = \frac{y^{2/3}}{2^{2/3}}
(2y^{2})\cdot\frac{y^{2/3}}{2^{2/3}} = 2^{1-2/3}\,y^{2+2/3} = 2^{1/3}\,y^{8/3}
Portanto:
Q = \frac{1}{n}\,2^{1/3}\,y^{8/3}\,S_{0}^{1/2}
Isole y^{8/3}:
y^{8/3} = \frac{Q\,n}{2^{1/3}\,S_{0}^{1/2}}
Tome potência (3/8) para obter y:
\boxed{y = \left(\dfrac{Q\,n}{2^{1/3}\,S_{0}^{1/2}}\right)^{3/8}}

Passo 6

Agora calculamos numericamente. Primeiro, alguns valores auxiliares:
Calcule S_{0}^{1/2}:
S_{0}^{1/2} = \sqrt{0{,}0005} = 0{,}0223606798\\ (\text{aprox.})
Calcule 2^{1/3} (raiz cúbica de 2):
2^{1/3} \approx 1{,}25992105
Calcule o numerador Q\,n:
Q\,n = 3{,}25 \times 0{,}025 = 0{,}08125
Calcule o denominador 2^{1/3}\,S_{0}^{1/2}:
2^{1/3}\,S_{0}^{1/2} \approx 1{,}25992105 \times 0{,}0223606798 \approx 0{,}028160
Agora o quociente:
\frac{Q\,n}{2^{1/3}\,S_{0}^{1/2}} \approx \frac{0{,}08125}{0{,}028160} \approx 2{,}885
Elevar à potência 3/8 = 0{,}375:
y = (2{,}885)^{0{,}375} \approx 1{,}488\\ \mathrm{m}
Arredondando com sentido prático, podemos usar \,y_{0} \approx 1{,}49\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determine b usando b = 2y:
b = 2 \times 1{,}488 \approx 2{,}976\\ \mathrm{m}
Arredondando para prática de projeto:
b \approx 2{,}98\\ \mathrm{m}

Resposta

\;y_{0}=1{,}49\\ \mathrm{m}
\;b=2{,}98\\ \mathrm{m}

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