1- Um canal retangular deve transportar em regime permanente uniforme uma vazão de 3,25
com declividade
, trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. O revestimento é alvenaria de pedra argamassada em condições regulares (coeficiente
0,025 ). Determine a profundidade normal (
) e a largura do fundo do canal (
).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a profundidade normal
e a largura do fundo
de um canal retangular que deve transportar uma vazão dada, com declividade e revestimento conhecidos, trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Condições impostas pelo enunciado:
- seção retangular;
- seção escolhida de modo a ter mínimo perímetro molhado (condição usada para otimizar a forma: isto impõe uma relação entre
e ).
O que se pede: - calcular a profundidade normal
; - calcular a largura do fundo
.
Passo 2
Decidimos usar a fórmula de Manning para fluxo uniforme em canal aberto, porque o problema fala de “profundidade normal” e “regime permanente uniforme” — isso é exatamente o contexto da fórmula de Manning. Além disso o enunciado exige a seção de “mínimo perímetro molhado”, então vamos primeiro achar a relação geométrica entre
e
que minimiza o perímetro molhado para uma seção retangular; depois usamos essa relação na equação de Manning para obter
e
.
Vou lembrar a fórmula de Manning e explicar cada termo:
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área da seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por , sendo o perímetro molhado ( ); -
é a declividade do fundo (adimensional).
Passo 3
Encontre a condição geométrica de mínimo perímetro molhado para a seção retangular.
Para uma seção retangular com largura de fundo
e profundidade
:
A condição “mínimo perímetro molhado” para uma dada área
significa: minimizar
sujeito a
fixo. Usamos cálculo com restrição (ou substituímos
). Vou fazer substituição e derivar em relação a
.
Escrevendo
em função de
e
:
Derivando
em relação a
e igualando a zero para mínimo:
Agora
, então:
Dividindo
por
:
Logo a relação para mínimo perímetro molhado é
ou seja, a largura do fundo deve ser o dobro da profundidade.
Passo 4
Expresse
,
e
em função somente de
usando
.
Substituindo
:
Passo 5
Substitua
e
na fórmula de Manning e isole
.
A fórmula de Manning:
Substituindo
e
:
Calculemos a parte algébrica:
Portanto:
Isole
:
Tome potência
para obter
:
Passo 6
Agora calculamos numericamente. Primeiro, alguns valores auxiliares:
Calcule
:
Calcule
(raiz cúbica de 2):
Calcule o numerador
:
Calcule o denominador
:
Agora o quociente:
Elevar à potência
:
Arredondando com sentido prático, podemos usar
.
Passo 7
Determine
usando
:
Arredondando para prática de projeto: