Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 1,50 \mathrm{~m}, relação entre taludes de 1,5(\mathrm{H}) : 1,0(\mathrm{~V}), coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}=0,015 e declividade de fundo \mathrm{Io}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} transporta em regime uniforme uma vazão \mathrm{Q}=4,5 \mathrm{m3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seção existe um degrau com altura de fundo \mathrm{Dz}=0,25 \mathrm{~m}.
(a) Determine o regime de escoamento a montante do degrau;
(b) Verifique se o degrau influencia as condições de escoamento a montante. Isto é, encontre a profundidade crítica sobre o degrau e a profundidade da água sobre o degrau. (3,33)

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
\begin{aligned} &\text{Largura de fundo: } b = 1{,}50\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Relação de talude: } m = 1{,}5\\ (\text{horizontal por vertical})\\\ &\text{Coeficiente de Manning: } n = 0{,}015\\\ &\text{Declividade do fundo: } S_0 = I_0 = 0{,}001\\\ &\text{Vazão: } Q = 4{,}5\\ \mathrm{m^3/s}\\\ &\text{Altura do degrau (elevação do fundo): } \Delta z = 0{,}25\\ \mathrm{m} \end{aligned}çããçã
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o regime de escoamento a montante do degrau (ou seja: é subcrítico ou supercrítico?).
(b) Verificar se o degrau influencia as condições a montante. Para isso encontrar: (i) a profundidade crítica sobre o degrau e (ii) a profundidade da água sobre o degrau (isto é, a profundidade real que se estabelece sobre o trecho elevado).
Observação: toda a resolução numérica será feita sem usar calculadora simbólica; vou mostrar as fórmulas, os passos de iteração e os valores usados.

Passo 2

Fórmulas geométricas e físicas essenciais (vou explicar cada termo):
Para uma seção trapezoidal com talude m (horizontal/vertical) e largura de fundo b, a área molhada \,A, o perímetro molhado P e a derivada \dfrac{dA}{dy} são:
A(y)=b\,y + m\,y^{2}
P(y)=b + 2y\sqrt{1+m^{2}}
\frac{dA}{dy}=b + 2m y
Explicando as variáveis:
  • y = profundidade da água (vertical, medida do fundo local até a superfície).
  • A em \mathrm{m^2}, P em \mathrm{m}.
Equação de Manning (escoamento uniforme normal):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}
onde R=\dfrac{A}{P} é o raio hidráulico.
Condição de escoamento crítico (derivada da energia específica):
A energia específica é \,E=y+\dfrac{Q^{2}}{2gA^{2}}. No ponto crítico verifica-se \dfrac{dE}{dy}=0, que conduz à forma conveniente:
Q^{2} = g\,\frac{A^{3}}{\dfrac{dA}{dy}}.
Isto permite achar a profundidade crítica y_c resolvendo a equação acima.
Constante física: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Cálculo da profundidade crítica \,y_c (aplico a condição crítica):
Escrevendo a equação crítica com as expressões de A e \dfrac{dA}{dy}:
Q^{2} = g\,\frac{\big(b y + m y^{2}\big)^{3}}{b + 2m y}.
Substituo os valores numéricos b=1{,}5, m=1{,}5, Q^{2}=4{,}5^{2}=20{,}25 e resolvo para y por iteração numérica (vou mostrar alguns pontos da iteração para você entender como achar a raiz):
  • Teste y=0{,}5: lado direito \approx 4{,}66 < 20{,}25 (muito pequeno).
  • Teste y=1{,}0: lado direito \approx 58{,}86 > 20{,}25 (muito grande).
  • Teste y=0{,}75: lado direito \approx 19{,}95 (ligeiramente abaixo).
  • Teste y=0{,}76: lado direito \approx 20{,}99 (ligeiramente acima).
Fazendo interpolação entre 0{,}75 e 0{,}76 obtemos:
y_c \approx 0{,}753\\ \mathrm{m}.
Assim, a profundidade crítica é aproximadamente \,y_c = 0{,}753\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da profundidade normal \,y_n usando Manning (determina o regime usual a montante):
Escrevo Q em função de y convenientemente:
Q(y)=\frac{1}{n}\,A(y)\,\bigg(\frac{A(y)}{P(y)}\bigg)^{2/3}\,S_0^{1/2} =\frac{1}{n} S_0^{1/2}\,\frac{A(y)^{5/3}}{P(y)^{2/3}}.
Substituo constantes numéricas: n=0{,}015,\\ S_0=0{,}001, logo
\frac{1}{n}S_0^{1/2}=\frac{1}{0{,}015}\sqrt{0{,}001}\approx 2{,}108185.
Faço iterações para achar y tal que Q(y)=4{,}5\\ \mathrm{m^3/s}:
  • y=1{,}00\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q\approx 4{,}442\\ \mathrm{m^3/s} (ligeiramente abaixo).
  • y=1{,}02\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q\approx 4{,}611\\ \mathrm{m^3/s} (ligeiramente acima).
Interpolando entre esses valores resulta:
y_{n} \approx 1{,}007\\ \mathrm{m}.
Portanto a profundidade normal é \,y_n \approx 1{,}007\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comparação entre \,y_n e \,y_c → determinação do regime a montante:
  • Encontramos y_n \approx 1{,}007\\ \mathrm{m}.
  • Encontramos y_c \approx 0{,}753\\ \mathrm{m}.
Regra: se y_n > y_c então o escoamento é subcrítico (profundo, lento); se y_n < y_c é supercrítico (rasa, rápido).
Aqui 1{,}007 > 0{,}753, logo o escoamento a montante do degrau é subcrítico.
(Resposta da parte (a) já está determinada: escoamento subcrítico.)

Passo 6

Análise de influência do degrau com energia específica:
Calculo a energia específica a montante, em y_n:
E_{1} = y_n + \frac{Q^{2}}{2gA(y_n)^{2}}.
Primeiro calculo A(y_n). Para y_n\approx 1{,}007:
A_n = b y_n + m y_n^{2} \approx 1{,}5(1{,}007 + 1{,}007^{2}) \approx 3{,}031\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média V_n = Q/A_n \approx 4{,}5/3{,}031 \approx 1{,}484\\ \mathrm{m/s} (só para intuição).
Termo dinâmico:
\frac{Q^{2}}{2gA_n^{2}} \approx 0{,}1123\\ \mathrm{m}.
Assim:
E_1 \approx 1{,}007 + 0{,}1123 \approx 1{,}119\\ \mathrm{m}.
A energia disponível sobre o degrau (imediatamente após a elevação do fundo) seria
E_2 = E_1 - \Delta z = 1{,}119 - 0{,}25 = 0{,}869\\ \mathrm{m}.
Agora comparo E_2 com a energia crítica E_c (energia específica quando y=y_c):
E_c = y_c + \frac{Q^{2}}{2gA(y_c)^{2}}.
Para y_c\approx 0{,}753 calculamos A_c \approx 1{,}980\\ \mathrm{m^{2}} e
\frac{Q^{2}}{2gA_c^{2}} \approx 0{,}2635\\ \mathrm{m}, \quad\Rightarrow\quad E_c \approx 0{,}753 + 0{,}2635 = 1{,}0165\\ \mathrm{m}.
Observação importante: para que exista uma profundidade possível sobre o degrau (isto é, uma solução y do balanço de energia local), é necessário que E_2 \ge E_{min} onde E_{min}=E_c (a menor energia específica possível para aquela vazão). Se E_2 < E_c, então não existe profundidade real correspondente àquela energia: o escoamento fica “estrangulado” (choked) e as condições a montante precisam ser alteradas (forma típica: aumento de nível a montante, formação de uma região de águas paradas ou de um ressalto hidráulico) até que E_2 \ge E_c.
Aqui encontramos:
E_2 \approx 0{,}869\\ \mathrm{m} < E_c \approx 1{,}0165\\ \mathrm{m}.
Portanto não existe solução com a condição inicial de y_n: o degrau é suficientemente alto para afetar o escoamento a montante — ele vai “influenciar” as condições a montante.

Passo 7

Qual será, então, a profundidade sobre o degrau? Interpretação física e cálculo final:
  • Quando E_2 < E_c o escoamento fica estrangulado e o sistema ajusta-se elevando a cota a montante (aumentando y a montante) até que o estado sobre o degrau seja crítico (condição de gargalo). Ou seja, o escoamento sobre o degrau atingirá a profundidade crítica y_c como condição de controle. Portanto a profundidade real sobre o degrau será a profundidade crítica:
y_{\text{sobre degrau}} = y_c \approx 0{,}753\\ \mathrm{m}.
  • Podemos também calcular a nova profundidade a montante que permite este controle crítico sobre o degrau. Para que sobre o degrau seja crítico vale
E_1' - \Delta z = E_c \quad\Rightarrow\quad E_1' = E_c + \Delta z.
Com E_c \approx 1{,}0165 e \Delta z=0{,}25 temos E_1' \approx 1{,}2665\\ \mathrm{m}. Resolvendo y na equação
y + \frac{Q^{2}}{2gA(y)^{2}} = E_1'
por iteração (mesma técnica usada antes) obtém-se a nova profundidade a montante:
y_{1}' \approx 1{,}200\\ \mathrm{m}.
Isto mostra o ajuste: a profundidade a montante sobe de y_n\approx 1{,}007\\ \mathrm{m} para cerca de 1{,}200\\ \mathrm{m} para que o escoamento sobre o degrau seja crítico.

Passo 8

Síntese final e interpretação (pra você levar pra prova com confiança):
  • O escoamento a montante inicial (normal) é subcrítico porque y_n > y_c.
  • O degrau com \Delta z=0{,}25\\ \mathrm{m} reduz a energia disponível atrás dele de tal forma que não existe profundidade possível imediata com y_n. Ou seja, o degrau influencia as condições a montante.
  • O escoamento sobre o degrau fica controlado (estrangulado) e adota profundidade crítica y_c. A profundidade sobre o degrau será y_c.
  • O ajuste provoca elevação da profundidade a montante até aproximadamente y_1' \approx 1{,}200\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Escoamento a montante: subcrítico (profundidade normal \,y_n\approx 1{,}007\\ \mathrm{m} > y_c\approx 0{,}753\\ \mathrm{m}).
(b) O degrau influencia a montante (sim). Profundidade crítica sobre o degrau: \,y_c\approx 0{,}753\\ \mathrm{m}. Profundidade da água sobre o degrau: \,y\approx y_c=0{,}753\\ \mathrm{m} (escoamento fica crítico; nova profundidade ajustada a montante \,y_1'\approx 1{,}200\\ \mathrm{m}).

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