Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a
, relação entre taludes de
:
, coeficiente de rugosidade de Manning
e declividade de fundo
transporta em regime uniforme uma vazão
. Em uma determinada seção existe um degrau com altura de fundo
.
(a) Determine o regime de escoamento a montante do degrau;
(b) Verifique se o degrau influencia as condições de escoamento a montante. Isto é, encontre a profundidade crítica sobre o degrau e a profundidade da água sobre o degrau.
(a) Determine o regime de escoamento a montante do degrau;
(b) Verifique se o degrau influencia as condições de escoamento a montante. Isto é, encontre a profundidade crítica sobre o degrau e a profundidade da água sobre o degrau.
Passo 1
Dados do enunciado (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o regime de escoamento a montante do degrau (ou seja: é subcrítico ou supercrítico?).
(b) Verificar se o degrau influencia as condições a montante. Para isso encontrar: (i) a profundidade crítica sobre o degrau e (ii) a profundidade da água sobre o degrau (isto é, a profundidade real que se estabelece sobre o trecho elevado).
(a) Determinar o regime de escoamento a montante do degrau (ou seja: é subcrítico ou supercrítico?).
(b) Verificar se o degrau influencia as condições a montante. Para isso encontrar: (i) a profundidade crítica sobre o degrau e (ii) a profundidade da água sobre o degrau (isto é, a profundidade real que se estabelece sobre o trecho elevado).
Observação: toda a resolução numérica será feita sem usar calculadora simbólica; vou mostrar as fórmulas, os passos de iteração e os valores usados.
Passo 2
Fórmulas geométricas e físicas essenciais (vou explicar cada termo):
Para uma seção trapezoidal com talude (horizontal/vertical) e largura de fundo
, a área molhada
, o perímetro molhado
e a derivada
são:
Para uma seção trapezoidal com talude
Explicando as variáveis:
-
= profundidade da água (vertical, medida do fundo local até a superfície). -
em , em .
Equação de Manning (escoamento uniforme normal):
onde
é o raio hidráulico.
Condição de escoamento crítico (derivada da energia específica):
A energia específica é . No ponto crítico verifica-se
, que conduz à forma conveniente:
A energia específica é
Isto permite achar a profundidade crítica
resolvendo a equação acima.
Constante física:
.
Passo 3
Cálculo da profundidade crítica
(aplico a condição crítica):
Escrevendo a equação crítica com as expressões de e
:
Escrevendo a equação crítica com as expressões de
Substituo os valores numéricos
,
,
e resolvo para
por iteração numérica (vou mostrar alguns pontos da iteração para você entender como achar a raiz):
- Teste
: lado direito (muito pequeno). - Teste
: lado direito (muito grande). - Teste
: lado direito (ligeiramente abaixo). - Teste
: lado direito (ligeiramente acima).
Fazendo interpolação entre
e
obtemos:
Assim, a profundidade crítica é aproximadamente
Passo 4
Cálculo da profundidade normal
usando Manning (determina o regime usual a montante):
Escrevo em função de
convenientemente:
Escrevo
Substituo constantes numéricas:
, logo
Faço iterações para achar
tal que
:
-
(ligeiramente abaixo). -
(ligeiramente acima).
Interpolando entre esses valores resulta:
Portanto a profundidade normal é
Passo 5
Comparação entre
e
→ determinação do regime a montante:
- Encontramos
. - Encontramos
.
Regra: se
então o escoamento é subcrítico (profundo, lento); se
é supercrítico (rasa, rápido).
Aqui
, logo o escoamento a montante do degrau é subcrítico.
(Resposta da parte (a) já está determinada: escoamento subcrítico.)
Passo 6
Análise de influência do degrau com energia específica:
Calculo a energia específica a montante, em :
Calculo a energia específica a montante, em
Primeiro calculo
. Para
:
Velocidade média
(só para intuição).
Termo dinâmico:
Termo dinâmico:
Assim:
A energia disponível sobre o degrau (imediatamente após a elevação do fundo) seria
Agora comparo
com a energia crítica
(energia específica quando
):
Para
calculamos
e
Observação importante: para que exista uma profundidade possível sobre o degrau (isto é, uma solução
do balanço de energia local), é necessário que
onde
(a menor energia específica possível para aquela vazão). Se
, então não existe profundidade real correspondente àquela energia: o escoamento fica “estrangulado” (choked) e as condições a montante precisam ser alteradas (forma típica: aumento de nível a montante, formação de uma região de águas paradas ou de um ressalto hidráulico) até que
.
Aqui encontramos:
Portanto não existe solução com a condição inicial de
: o degrau é suficientemente alto para afetar o escoamento a montante — ele vai “influenciar” as condições a montante.
Passo 7
Qual será, então, a profundidade sobre o degrau? Interpretação física e cálculo final:
- Quando
o escoamento fica estrangulado e o sistema ajusta-se elevando a cota a montante (aumentando a montante) até que o estado sobre o degrau seja crítico (condição de gargalo). Ou seja, o escoamento sobre o degrau atingirá a profundidade crítica como condição de controle. Portanto a profundidade real sobre o degrau será a profundidade crítica:
- Podemos também calcular a nova profundidade a montante que permite este controle crítico sobre o degrau. Para que sobre o degrau seja crítico vale
Com
e
temos
. Resolvendo
na equação
por iteração (mesma técnica usada antes) obtém-se a nova profundidade a montante:
Isto mostra o ajuste: a profundidade a montante sobe de
para cerca de
para que o escoamento sobre o degrau seja crítico.
Passo 8
Síntese final e interpretação (pra você levar pra prova com confiança):
- O escoamento a montante inicial (normal) é subcrítico porque
. - O degrau com
reduz a energia disponível atrás dele de tal forma que não existe profundidade possível imediata com . Ou seja, o degrau influencia as condições a montante. - O escoamento sobre o degrau fica controlado (estrangulado) e adota profundidade crítica
. A profundidade sobre o degrau será . - O ajuste provoca elevação da profundidade a montante até aproximadamente
.
Resposta
(a) Escoamento a montante: subcrítico (profundidade normal
).
(b) O degrau influencia a montante (sim). Profundidade crítica sobre o degrau: . Profundidade da água sobre o degrau:
(escoamento fica crítico; nova profundidade ajustada a montante
).
(b) O degrau influencia a montante (sim). Profundidade crítica sobre o degrau: