Uma galeria retangular de drenagem, com 6,00 \mathrm{~m} de largura, deve sofrer uma redução de largura de forma a operar em condições críticas. Sabendo que a velocidade e a profundidade de escoamento na galeria a montante são, respectivamente, 1,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 4,00 m , defina a largura da galeria a jusante.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo o que o exercício pede):\n
  • Largura da galeria a montante: b_1 = 6{,}00\\ \mathrm{m}.\n
  • Velocidade a montante: V_1 = 1{,}50\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Profundidade a montante: y_1 = 4{,}00\\ \mathrm{m}.\n
  • A galeria será reduzida de largura a jusante de modo que o escoamento ali se torne crítico. O que o exercício pede é determinar a largura a jusante b_2 que produza esse escoamento crítico.\n
    Observação: vou assumir que não há perda de carga apreciável entre a seção a montante e a seção reduzida (canal horizontal e sem atrito relevante), de modo que a energia específica se conserva entre as seções.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica total Q a partir dos dados a montante (continuidade). A área da seção retangular a montante é A_1 = b_1 y_1 e Q = A_1 V_1. Então:\n
A_1 = b_1 y_1 = 6{,}00 \times 4{,}00 = 24{,}00\\ \mathrm{m^2},\n
Q = A_1 V_1 = 24{,}00 \times 1{,}50 = 36{,}0\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Introdução e fórmula da energia específica (aula rápida mas direta).\n
  • A energia específica E numa seção de um canal aberto (referida ao fundo do canal) é a soma da profundidade y e da cabeça de velocidade V^2/(2g):\n
E = y + \frac{V^2}{2g}.\n
  • Como geralmente é útil trabalhar com descarga por unidade de largura q (onde q = Q/b), podemos escrever a velocidade como V = q/y. Substituindo em E obtemos a expressão em termos de q e y:\n
E = y + \frac{q^2}{2g\,y^2}.\n
Aqui: E é a energia específica (m), y é a profundidade (m), V é a velocidade média (m/s), g é a gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}), q é a vazão por unidade de largura ( \mathrm{m^2/s}).\n
Vamos calcular a energia específica na seção a montante usando V_1 e y_1:\n
E_1 = y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = 4{,}00 + \frac{(1{,}50)^2}{2\cdot 9{,}81}.\n
Calculemos a parcela da cabeça de velocidade:\n
\frac{(1{,}50)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{2{,}25}{19{,}62} \approx 0{,}11470588.\n
Portanto\n
E_1 \approx 4{,}11470588\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Condição de escoamento crítico — derivação curta e significado.\n
  • Para uma dada descarga por unidade de largura q, a curva E(y) tem um valor mínimo; esse mínimo corresponde ao escoamento crítico. A condição matemática do mínimo é \mathrm{d}E/\mathrm{d}y = 0.\n
  • A partir de E = y + q^2/(2g y^2) calculamos a derivada:\n
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y} = 1 - \frac{q^2}{g\,y^3}.\n
Igualando a zero para o ponto crítico:\n
1 - \frac{q^2}{g\,y_c^3} = 0 \quad\Rightarrow\quad q^2 = g\,y_c^3.\n
Essa é a relação de profundidade crítica para um canal retangular: a profundidade crítica y_c satisfaz \;q^2 = g y_c^3.\n
  • Alternativamente, isso é equivalente a dizer que o número de Froude \mathrm{Fr} = V/\sqrt{g y} vale 1 no regime crítico.\n

Passo 5

Energia específica crítica e uso da conservação de energia (etapa chave para encontrar y_c).\n
  • A energia específica mínima (energia no ponto crítico) para um canal retangular pode ser obtida substituindo q^2 = g y_c^3 em E. Temos:\n
E_c = y_c + \frac{q^2}{2g y_c^2} = y_c + \frac{g y_c^3}{2g y_c^2} = y_c + \frac{1}{2}y_c = \frac{3}{2}y_c.\n
  • Se não há perda de energia entre a seção a montante e a garganta (seção reduzida), então a energia específica a montante E_1 será igual à energia específica crítica E_c na seção reduzida: E_1 = E_c.\n
  • Assim:\n
E_1 = \frac{3}{2}y_c \quad\Rightarrow\quad y_c = \frac{2}{3}E_1.\n
Substituindo o valor de E_1 calculado no Passo 3:\n
y_c = \frac{2}{3}\times 4{,}11470588 \approx 2{,}74313725\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a descarga por unidade de largura crítica q_c e então a largura b_2.\n
  • A relação crítica é \;q_c^2 = g\,y_c^3. Tomando raíz:\n
q_c = \sqrt{g\,y_c^3}.\n
Substituindo g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e y_c \approx 2{,}74313725\\ \mathrm{m}:\n
q_c \approx \sqrt{9{,}81 \times (2{,}74313725)^3} \approx 14{,}23\\ \mathrm{m^2/s}.\n
(esse q_c é a vazão por unidade de largura que, numa largura b_2, produzirá profundidade crítica y_c).\n
  • Finalmente, como q_c = Q/b_2, despejamos para obter b_2:\n
b_2 = \frac{Q}{q_c} = \frac{36{,}0}{14{,}23} \approx 2{,}53\\ \mathrm{m}.

Resposta

b_2 = 2{,}53\\ \mathrm{m}

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