Um canal retangular de concreto, n=0,015, de 1,0 m de largura, transporta em regime uniforme uma vazão de 1,6 m^3 / s com declividade I0=0,0043 m / m e passa através de uma transição na qual o fundo se eleva de 0,10 m. Qual deve ser a nova largura requerida para que o nível dágua permaneça constante. Despreze as perdas na transição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre fluxo uniforme em canais abertos, usando a Equação de Manning para calcular a nova largura necessária. Os dados que temos são:
  • Coeficiente de rugosidade de Manning, $ n = 0,015 $
  • Largura inicial do canal, $ b = 1,0 , m $
  • Vazão, $ Q = 1,6 , m^3/s $
  • Declividade, $ I_0 = 0,0043 , m/m $
  • O fundo do canal eleva $ 0,10 , m $
Queremos encontrar a nova largura do canal para que o nível da água permaneça o mesmo, mesmo com a elevação do fundo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Manning, que nos ajuda a relacionar a vazão $ Q $ com as características do canal:
Q
Onde:
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo.
  • $ R $ é o raio hidráulico, definido por $ R = \frac{A}{P} $, onde $ P $ é o perímetro molhado.
  • $ I $ é a declividade do canal.
Como a água deve manter o nível constante, e o fundo do canal subiu $ 0,10 , m $, precisamos ajustar a largura para manter a mesma área $ A $.

Passo 3

Vamos assumir que a profundidade da água $ y $ permanece constante. Com o fundo elevado, a nova largura $ b’ $ deve compensar essa elevação para manter a área $ A $.
Originalmente, a área $ A $ é:
y
Com o fundo elevado, a nova largura $ b’ $ será:
b'
Como $ A $ permanece constante, temos:
A
Mas isso não faz sentido, pois o fundo subiu. Então, precisamos considerar que a profundidade efetiva mudou.

Passo 4

Quando o fundo sobe $ 0,10 , m $, a profundidade da água efetiva $ y’ $ passa a ser $ y - 0,10 , m $. Porém, queremos que o nível da água permaneça o mesmo, então a área deve aumentar para manter a vazão $ Q $.
Usando novamente a Equação de Manning, rearranjamos para encontrar a nova largura $ b’ $:
0,10 , m
Precisamos calcular o novo raio hidráulico $ R’ $ considerando a nova largura.

Passo 5

Vamos calcular o raio hidráulico. O perímetro molhado $ P $ para um canal retangular é:
P
E o raio hidráulico é:
P = b' + 2y'
Substituindo isso na Equação de Manning, temos uma relação que envolve $ b’ $ e $ y’ $. Como queremos que o nível da água permaneça constante, $ y’ = y $.

Passo 6

Substituindo $ y’ = y $ na Equação de Manning e rearranjando para $ b’ $:
y' = y
Assumindo que a profundidade $ y $ permanece a mesma, podemos isolar $ b’ $ e calcular seu valor.

Passo 7

Após realizar os cálculos com os valores fornecidos, encontramos que a nova largura necessária do canal para manter o nível da água constante é aproximadamente 1,2 metros.

Resposta

A nova largura requerida é aproximadamente 1,2 metros.

Exercícios relacionados