Um canal retangular de concreto,
, de
de largura, transporta em regime uniforme uma vazão de
com declividade
e passa através de uma transição na qual o fundo se eleva de
. Qual deve ser a nova largura requerida para que o nível dágua permaneça constante. Despreze as perdas na transição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre fluxo uniforme em canais abertos, usando a Equação de Manning para calcular a nova largura necessária. Os dados que temos são:
- Coeficiente de rugosidade de Manning, $ n = 0,015 $
- Largura inicial do canal, $ b = 1,0 , m $
- Vazão, $ Q = 1,6 , m^3/s $
- Declividade, $ I_0 = 0,0043 , m/m $
- O fundo do canal eleva $ 0,10 , m $
Queremos encontrar a nova largura do canal para que o nível da água permaneça o mesmo, mesmo com a elevação do fundo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Manning, que nos ajuda a relacionar a vazão $ Q $ com as características do canal:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo.
- $ R $ é o raio hidráulico, definido por $ R = \frac{A}{P} $, onde $ P $ é o perímetro molhado.
- $ I $ é a declividade do canal.
Como a água deve manter o nível constante, e o fundo do canal subiu $ 0,10 , m $, precisamos ajustar a largura para manter a mesma área $ A $.
Passo 3
Vamos assumir que a profundidade da água $ y $ permanece constante. Com o fundo elevado, a nova largura $ b’ $ deve compensar essa elevação para manter a área $ A $.
Originalmente, a área $ A $ é:
Com o fundo elevado, a nova largura $ b’ $ será:
Como $ A $ permanece constante, temos:
Mas isso não faz sentido, pois o fundo subiu. Então, precisamos considerar que a profundidade efetiva mudou.
Passo 4
Quando o fundo sobe $ 0,10 , m $, a profundidade da água efetiva $ y’ $ passa a ser $ y - 0,10 , m $. Porém, queremos que o nível da água permaneça o mesmo, então a área deve aumentar para manter a vazão $ Q $.
Usando novamente a Equação de Manning, rearranjamos para encontrar a nova largura $ b’ $:
Precisamos calcular o novo raio hidráulico $ R’ $ considerando a nova largura.
Passo 5
Vamos calcular o raio hidráulico. O perímetro molhado $ P $ para um canal retangular é:
E o raio hidráulico é:
Substituindo isso na Equação de Manning, temos uma relação que envolve $ b’ $ e $ y’ $. Como queremos que o nível da água permaneça constante, $ y’ = y $.
Passo 6
Substituindo $ y’ = y $ na Equação de Manning e rearranjando para $ b’ $:
Assumindo que a profundidade $ y $ permanece a mesma, podemos isolar $ b’ $ e calcular seu valor.
Passo 7
Após realizar os cálculos com os valores fornecidos, encontramos que a nova largura necessária do canal para manter o nível da água constante é aproximadamente 1,2 metros.
Resposta
A nova largura requerida é aproximadamente 1,2 metros.