As superfícies externas de uma placa plana com condutividade térmica k e espessura L são mantidas a uma mesma temperatura T. Esta placa está associada a uma taxa volumétrica de geração de calor G. Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior da placa. Sugestão: Localize a origem do sistema de coordenadas no centro da placa.

Problema 4:

Em uma placa plana de espessura L e condutividade térmica k, uma das faces está isolada e a outra está em contato com o ambiente a uma temperatura T e associado a um coeficiente de convecção h. Nesta placa ocorre a liberação de calor com uma taxa volumétrica de geração G. Determinar uma expressão relativa ao valor máximo de temperatura no interior da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma placa plana de espessura e condutividade térmica . Dentro dela rola geração de calor de taxa volumétrica . Uma face ( ) está perfeitamente isolada (ou seja, não perde nem ganha calor) e a outra face ( ) troca calor por convecção com o ambiente, cuja temperatura é e o coeficiente de convecção é .
O conteúdo aqui é condução estacionária unidimensional com geração interna e condições de contorno mistas (isolamento e convecção). Para resolver, vamos usar:
  1. Equação diferencial da condução com geração: .
  2. Integrar duas vezes para achar com constantes de integração.
  3. Aplicar as condições de contorno para determinar essas constantes.
  4. Identificar onde a temperatura é máxima e escrever essa expressão.

Passo 2

  1. Escrevendo a equação de energia em estado permanente e 1D com geração:
d^2Tdx^2 + Gk = 0
  1. Integramos uma vez:
dTdx = -Gk,x + C1
Integramos de novo:
T(x) = -G2k,x^2 + C1,x + C2
  1. Aplicando a condição de contorno no isolamento ( dTdx|x=0 = 0 Rightarrow -Gkcdot 0 + C1 = 0 Rightarrow C1 = 0 ):
    isolado significa fluxo zero, ou seja
T(x) = -G2k,x^2 + C2
Logo a expressão fica

Passo 3

Agora a condição na face fluxo condutivo em x=L = fluxo convectivo , convecção com o ambiente:
-kdTdx|x=L ;=; hl[T(L)-Tinftyr]
-kl(-GkLr) = hl[T(L)-Tinftyr] Rightarrow G,L = hl[T(L)-Tinftyr]
Como T(L) = Tinfty + G,Lh , em -G2kL^2 + C2 = Tinfty + G,Lh Rightarrow C2 = Tinfty + G,Lh + G,L^22k fica T(x) = Tinfty + G,Lh + G,L^22k -G2k,x^2 . Então
Assim
Por outro lado, da forma geral , em :
Então o perfil completo é
Como esse é um “parabolão” virado pra baixo ( ), o máximo ocorre em .

Resposta

A temperatura máxima dentro da placa é
boxedTmax ;=; T(0) ;=; Tinfty ;+;G,Lh;+;G,L^22,k

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