Determinar a profundidade crítica de um canal triangular com taludes 1:1, transportando uma vazão de 14 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a profundidade crítica de um canal triangular com taludes 1:1 que transporta uma vazão Q=14\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Informações dadas:
  • Vazão: Q=14\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Seção do canal: triângulo isósceles com taludes 1:1 (ou seja, razão horizontal:vertical m=1).
  • Quer-se a profundidade crítica y_c (profundidade para a qual o escoamento é crítico).

Passo 2

Conceito e fórmula geral do escoamento crítico (aulas rápidas):
  • A energia específica de um escoamento aberto é \,E=y+\dfrac{v^{2}}{2g}\,, onde:
    • y é a profundidade,
    • v é a velocidade média na seção,
    • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Condição de escoamento crítico: a derivada da energia específica em relação a y é zero: \frac{dE}{dy}=0.
  • Como v=Q/A (onde A é a área da seção molhada), faz-se a derivação (explicando cada passo):
    • E=y+\dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{Q}{A}\right)^{2}.
    • Diferenciando em relação a y: \frac{dE}{dy}=1+\frac{1}{2g}\cdot 2\left(\dfrac{Q}{A}\right)\left(-\dfrac{Q}{A^{2}}\right)\frac{dA}{dy} =1-\frac{Q^{2}}{gA^{3}}\frac{dA}{dy}.
    • Igualando a zero e isolando Q^{2}: 1-\frac{Q^{2}}{gA^{3}}\frac{dA}{dy}=0 \quad\Longrightarrow\quad Q^{2}=\frac{gA^{3}}{\dfrac{dA}{dy}}.
  • Observação útil: \dfrac{dA}{dy} é a largura superficial da água (top width), normalmente denotada por T. Assim obtém-se a forma prática: Q^{2}=\frac{gA^{3}}{T}.Nesta fórmula:
    • A é a área da seção molhada avaliada na profundidade crítica y_c,
    • T é a largura superficial (comprimento da superfície livre) nessa profundidade.

Passo 3

Geometria da seção triangular com taludes 1:1 (explicando e apoiando com contas):
  • Para talude 1:1 (ou seja, m=1), a meia-base na superfície vale m y = y.
  • A largura superficial total T é o dobro da meia-base: T=2 m y = 2y.
  • A área da seção triangular é metade da base vezes a altura: A=\tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}) =\tfrac{1}{2}\times(2m y)\times y = m y^{2}.Como m=1, fica simplesmente A=y^{2}.
  • Resumo das relações geométricas (para m=1): A=y^{2},\qquad T=2y.

Passo 4

Substituição das relações geométricas na condição crítica:
  • A condição crítica geral é Q^{2}=\frac{gA^{3}}{T}.
  • Substituindo A=y^{2} e T=2y: Q^{2}=\frac{g (y^{2})^{3}}{2y}=\frac{g\,y^{6}}{2y}=\frac{g}{2}\,y^{5}.
  • Isolando y (resolver para a profundidade crítica y_c): y^{5}=\frac{2Q^{2}}{g} \quad\Longrightarrow\quad y=\left(\frac{2Q^{2}}{g}\right)^{1/5}.

Passo 5

Cálculo numérico com cuidado (mostrando os passos aritméticos):
  • Primeiro calcule Q^{2}: Q^{2}=(14)^{2}=196\\ \mathrm{(m^{6}/s^{2})}.
  • Calcule 2Q^{2}/g: \frac{2Q^{2}}{g}=\frac{2\cdot196}{9{,}81}=\frac{392}{9{,}81}\approx39{,}98.(Aqui foi usado g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.)
  • Agora a quinta-razão (potência 1/5): y_c=\left(39{,}98\right)^{1/5}.Uma maneira prática de calcular a potência 1/5 é usar logaritmos ou uma calculadora. Aproximando: y_c\approx2{,}09\\ \mathrm{m}.(Verificação rápida: 2{,}09^{5}\approx39{,}98.)

Passo 6

Interpretação curta e lembrete útil:
  • A profundidade crítica encontrada é y_c\approx2{,}09\\ \mathrm{m}.
  • No escoamento crítico a velocidade correspondente v_c satisfaz que o número de Froude Fr=1. Se quiser, pode calcular v_c=Q/A_c=Q/y_c^{2} e verificar Fr=v_c/\sqrt{gy_c}=1 como checagem.

Resposta

y_c\approx2{,}09\\ \mathrm{m}

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