(2,5) Considere o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=3 x_{1}(t)+x_{2}(t), \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) . \end{array}\right.
Determine a solução do problema de valor inicial
X(0)=\binom{2}{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de equações diferenciais e a condição inicial. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Sistema:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=3 x_{1}(t)+x_{2}(t), \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t), \end{array}\right.
isto é, na forma matricial
X'(t)=A X(t), \qquad A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \qquad X(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix}.
  • Condição inicial:
X(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • O que se pede: determinar explicitamente a solução X(t) que satisfaz o sistema e a condição inicial.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do porquê): para sistemas lineares com matriz constante A procuramos soluções do tipo exponencial X(t)=v\,e^{\lambda t}, onde v é um vetor não-nulo e \lambda um escalar. Substituindo na equação X'=AX obtemos
\lambda v\,e^{\lambda t}=A v\,e^{\lambda t}\quad\Rightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Isto mostra que \lambda deve ser um autovalor (valor próprio) de A e v um autovetor associado. Assim a solução geral é combinação linear das soluções v e^{\lambda t} para os autovalores \lambda de A. Agora vamos calcular de forma explícita os autovalores e autovetores de A.

Passo 3

Calcular o polinômio característico e os autovalores. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(1-\lambda)-1.
Desenvolvendo:
(3-\lambda)(1-\lambda)-1=\lambda^{2}-4\lambda+2.
Encontramos os autovalores resolvendo \lambda^{2}-4\lambda+2=0. Aplicando a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt{2}.
Portanto
\lambda_{1}=2+\sqrt{2},\qquad \lambda_{2}=2-\sqrt{2}.]

Passo 4

Calcular autovetor correspondente a \lambda_{1}=2+\sqrt{2}. Resolvemos (A-\lambda_{1}I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}3-\lambda_{1} & 1\\[4pt]1 & 1-\lambda_{1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calcule os elementos:
3-\lambda_{1}=3-(2+\sqrt{2})=1-\sqrt{2},\qquad 1-\lambda_{1}=1-(2+\sqrt{2})=-1-\sqrt{2}.
A primeira linha dá (1-\sqrt{2})v_{1}+v_{2}=0, ou seja
v_{2}=(\sqrt{2}-1)v_{1}.
Escolhendo v_{1}=1 (qualquer múltiplo serve), obtemos o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular autovetor correspondente a \lambda_{2}=2-\sqrt{2}. Repetimos o processo:
3-\lambda_{2}=3-(2-\sqrt{2})=1+\sqrt{2},\qquad 1-\lambda_{2}=1-(2-\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1.
Da primeira linha (1+\sqrt{2})v_{1}+v_{2}=0, obtém-se
v_{2}=-(1+\sqrt{2})v_{1}.
Escolhendo v_{1}=1, um autovetor é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever a solução geral como combinação linear das soluções exponenciais. Como os autovalores são distintos, as soluções formam uma base:
X(t)=c_{1}v^{(1)}e^{\lambda_{1}t}+c_{2}v^{(2)}e^{\lambda_{2}t},
ou seja
X(t)=c_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix}e^{(2+\sqrt{2})t} + c_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\sqrt{2}\end{pmatrix}e^{(2-\sqrt{2})t}.
As constantes c_{1},c_{2} serão determinadas pela condição inicial.]

Passo 7

Aplicar a condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Em t=0 obtemos
c_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix}+ c_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\sqrt{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isto dá o sistema linear para c_{1},c_{2}:
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=2,\\[4pt] c_{1}(\sqrt{2}-1)+c_{2}(-1-\sqrt{2})=-1. \end{cases}]

Passo 8

Resolver o sistema para c_{1},c_{2}. Da primeira equação c_{2}=2-c_{1}. Substituindo na segunda:
c_{1}(\sqrt{2}-1)+(2-c_{1})(-1-\sqrt{2})=-1.
Expandindo:
c_{1}(\sqrt{2}-1)-2-2\sqrt{2}+c_{1}(1+\sqrt{2})=-1.
Agrupando os termos com c_{1}:
c_{1}\bigl((\sqrt{2}-1)+(1+\sqrt{2})\bigr)-2-2\sqrt{2}=-1.
Note que (\sqrt{2}-1)+(1+\sqrt{2})=2\sqrt{2}. Então
2\sqrt{2}\,c_{1}-2-2\sqrt{2}=-1.
Isolando c_{1}:
2\sqrt{2}\,c_{1}=1+2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad c_{1}=\frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}.
Podemos simplificar essa fração:
c_{1}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{4+\sqrt{2}}{4}.
Então
c_{2}=2-c_{1}=2-\frac{4+\sqrt{2}}{4}=\frac{4-\sqrt{2}}{4}.

Passo 9

Substituir c_{1} e c_{2} na solução geral para escrever X(t) explicitamente. Assim
X(t)=\frac{4+\sqrt{2}}{4}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix}e^{(2+\sqrt{2})t} +\frac{4-\sqrt{2}}{4}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\sqrt{2}\end{pmatrix}e^{(2-\sqrt{2})t}.
Se quiser separar componentes:
x_{1}(t)=\frac{4+\sqrt{2}}{4}e^{(2+\sqrt{2})t}+\frac{4-\sqrt{2}}{4}e^{(2-\sqrt{2})t},
x_{2}(t)=\frac{3\sqrt{2}-2}{4}e^{(2+\sqrt{2})t}+\frac{-2-3\sqrt{2}}{4}e^{(2-\sqrt{2})t},
onde os coeficientes de x_{2}(t) foram obtidos multiplicando as constantes c_{1},c_{2} pelos componentes dos autovetores correspondentes e simplificando.]

Resposta

X(t)=\frac{4+\sqrt{2}}{4}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}-1\end{pmatrix}e^{(2+\sqrt{2})t} +\frac{4-\sqrt{2}}{4}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\sqrt{2}\end{pmatrix}e^{(2-\sqrt{2})t}.]

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