Considere o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
Determine a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de equações diferenciais e a condição inicial. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Sistema:
isto é, na forma matricial
- Condição inicial:
- O que se pede: determinar explicitamente a solução
que satisfaz o sistema e a condição inicial.]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do porquê): para sistemas lineares com matriz constante
procuramos soluções do tipo exponencial
, onde
é um vetor não-nulo e
um escalar. Substituindo na equação
obtemos
Isto mostra que
deve ser um autovalor (valor próprio) de
e
um autovetor associado. Assim a solução geral é combinação linear das soluções
para os autovalores
de
. Agora vamos calcular de forma explícita os autovalores e autovetores de
.
Passo 3
Calcular o polinômio característico e os autovalores. O polinômio característico é
Desenvolvendo:
Encontramos os autovalores resolvendo
. Aplicando a fórmula quadrática:
Portanto
Passo 4
Calcular autovetor correspondente a
. Resolvemos
, isto é
Calcule os elementos:
A primeira linha dá
, ou seja
Escolhendo
(qualquer múltiplo serve), obtemos o autovetor
Passo 5
Calcular autovetor correspondente a
. Repetimos o processo:
Da primeira linha
, obtém-se
Escolhendo
, um autovetor é
Passo 6
Escrever a solução geral como combinação linear das soluções exponenciais. Como os autovalores são distintos, as soluções formam uma base:
ou seja
As constantes
serão determinadas pela condição inicial.]
Passo 7
Aplicar a condição inicial
. Em
obtemos
Isto dá o sistema linear para
:
Passo 8
Resolver o sistema para
. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Note que
. Então
Isolando
:
Podemos simplificar essa fração:
Então
Passo 9
Substituir
e
na solução geral para escrever
explicitamente. Assim
Se quiser separar componentes:
onde os coeficientes de
foram obtidos multiplicando as constantes
pelos componentes dos autovetores correspondentes e simplificando.]