(2,5) Considere o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, escrito por extenso:
\left\{\begin{aligned} x_{1}^{\prime}(t) & =x_{1}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t) & =2 x_{2}(t)+x_{3}(t) \\\ x_{3}^{\prime}(t) & =-x_{2}(t)+2 x_{3}(t) \end{aligned}\right.
Determine a solução geral X(t) do sistema, exigindo que a resposta seja expressa apenas em termos de funções reais.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem e pede a solução geral X(t) expressa apenas por funções reais. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Sistema dado:
\left\{\begin{aligned} x_{1}^{\prime}(t) & =x_{1}(t),\\[4pt] x_{2}^{\prime}(t) & =2 x_{2}(t)+x_{3}(t),\\[4pt] x_{3}^{\prime}(t) & =-x_{2}(t)+2 x_{3}(t). \end{aligned}\right.
  • O que se pede: determinar a solução geral X(t), onde
X(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\\[4pt]x_{3}(t)\end{pmatrix},
e a resposta deve usar somente funções reais (ou seja, constantes reais e exponenciais, senos e cossenos etc.).]

Passo 2

É mais organizado escrever o sistema em forma matricial. Defina
X(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\\[4pt]x_{3}(t)\end{pmatrix}.
Então o sistema pode ser escrito como
X'(t)=A\,X(t),
onde a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Note que a primeira equação está desacoplada das outras duas (coluna e linha correspondentes são zeros fora do elemento 1).]

Passo 3

Resolver equações desacopladas é fácil: a primeira componente satisfaz
x_{1}'(t)=x_{1}(t).
Regra geral: para a ODE de primeira ordem u'(t)=\alpha\,u(t) a solução geral é u(t)=C e^{\alpha t} (separando variáveis ou reconhecendo exponencial). Aplicando isso temos
x_{1}(t)=C_{1} e^{t},
onde C_{1} é constante real arbitrária.

Passo 4

Agora resolvemos o subsistema formado por x_{2} e x_{3}. Defina
y(t)=\begin{pmatrix}x_{2}(t)\\[4pt]x_{3}(t)\end{pmatrix}.
Esse vetor satisfaz
y'(t)=B\,y(t), \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Vamos encontrar a solução geral real de y'=By. O método natural é achar os autovalores e autovetores de B; se os autovalores forem complexos conjugados, extraímos soluções reais tomando a parte real e a imaginária das soluções complexas.]

Passo 5

Calcule o polinômio característico de B:
\det(B-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]-1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^{2}+1.
Logo temos
(2-\lambda)^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad 2-\lambda=\pm i \quad\Rightarrow\quad \lambda=2\pm i.
Portanto os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1}=2+i e \lambda_{2}=2-i. Isso indica que as soluções de y irão envolver um fator exponencial e^{2t} multiplicado por funções oscilatórias \cos t e \sin t.]

Passo 6

Encontre um autovetor associado a \lambda=2+i. Resolve-se (B-(2+i)I)v=0:
\begin{pmatrix}-i & 1\\[4pt]-1 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha obtemos -i v_{1}+v_{2}=0, ou seja v_{2}=i v_{1}. Podemos escolher v_{1}=1 e, assim,
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}
é um autovetor para \lambda=2+i.]

Passo 7

A solução complexa correspondente é
y_{c}(t)=e^{(2+i)t}\,v=e^{2t}e^{it}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.
Usando a fórmula de Euler e^{it}=\cos t + i\sin t, calculemos componentes de y_{c}(t):
e^{it}= \cos t + i\sin t, \qquad i e^{it}= i\cos t + i^{2}\sin t = i\cos t - \sin t.
Portanto
y_{c}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix} \cos t + i\sin t \\[4pt] i\cos t - \sin t \end{pmatrix}.]

Passo 8

A parte real e a parte imaginária de y_{c}(t) são soluções reais independentes de y'=By. Extraindo-as:
  • Parte real:
\Re(y_{c}(t))=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]-\sin t\end{pmatrix}.
  • Parte imaginária:
\Im(y_{c}(t))=e^{2t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}.
Qualquer combinação linear real dessas duas soluções gera a solução geral real do subsistema. Assim existem constantes reais C_{2},C_{3} tais que
y(t)=C_{2}\,e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]-\sin t\end{pmatrix} + C_{3}\,e^{2t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}.]

Passo 9

Escrevendo explicitamente as componentes x_{2}(t) e x_{3}(t) obtemos
x_{2}(t)=e^{2t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr),
x_{3}(t)=e^{2t}\bigl(-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t\bigr),
onde C_{2},C_{3} são constantes reais arbitrárias. Juntando com x_{1}(t)=C_{1}e^{t}, a solução geral do sistema em termos reais é
X(t)=\begin{pmatrix} C_{1} e^{t}\\[6pt] e^{2t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr)\\[6pt] e^{2t}\bigl(-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t\bigr) \end{pmatrix},
com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}. Se quiser, é sempre bom verificar rapidamente derivando e substituindo de volta no sistema para checar que as igualdades são satisfeitas.]

Resposta

X(t)=\begin{pmatrix} C_{1} e^{t}\\[6pt] e^{2t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr)\\[6pt] e^{2t}\bigl(-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t\bigr) \end{pmatrix},
com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.]

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