Determine a solução geral X(t) do sistema, exigindo que a resposta seja expressa apenas em termos de funções reais.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de três equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem e pede a solução geral X(t) expressa apenas por funções reais. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Note que a primeira equação está desacoplada das outras duas (coluna e linha correspondentes são zeros fora do elemento 1).]
Passo 3
Resolver equações desacopladas é fácil: a primeira componente satisfaz
x_{1}'(t)=x_{1}(t).
Regra geral: para a ODE de primeira ordem u'(t)=\alpha\,u(t) a solução geral é u(t)=C e^{\alpha t} (separando variáveis ou reconhecendo exponencial). Aplicando isso temos
x_{1}(t)=C_{1} e^{t},
onde C_{1} é constante real arbitrária.
Passo 4
Agora resolvemos o subsistema formado por x_{2} e x_{3}. Defina
Vamos encontrar a solução geral real de y'=By. O método natural é achar os autovalores e autovetores de B; se os autovalores forem complexos conjugados, extraímos soluções reais tomando a parte real e a imaginária das soluções complexas.]
(2-\lambda)^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad 2-\lambda=\pm i \quad\Rightarrow\quad \lambda=2\pm i.
Portanto os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1}=2+i e \lambda_{2}=2-i. Isso indica que as soluções de y irão envolver um fator exponencial e^{2t} multiplicado por funções oscilatórias \cos t e \sin t.]
Passo 6
Encontre um autovetor associado a \lambda=2+i. Resolve-se (B-(2+i)I)v=0:
Escrevendo explicitamente as componentes x_{2}(t) e x_{3}(t) obtemos
x_{2}(t)=e^{2t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr),
x_{3}(t)=e^{2t}\bigl(-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t\bigr),
onde C_{2},C_{3} são constantes reais arbitrárias. Juntando com x_{1}(t)=C_{1}e^{t}, a solução geral do sistema em termos reais é
X(t)=\begin{pmatrix} C_{1} e^{t}\\[6pt] e^{2t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr)\\[6pt] e^{2t}\bigl(-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t\bigr) \end{pmatrix},
com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}. Se quiser, é sempre bom verificar rapidamente derivando e substituindo de volta no sistema para checar que as igualdades são satisfeitas.]
Resposta
X(t)=\begin{pmatrix} C_{1} e^{t}\\[6pt] e^{2t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr)\\[6pt] e^{2t}\bigl(-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t\bigr) \end{pmatrix},