Um canal retangular com 3,70 \mathrm{~m} de largura transporta 5,60 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água. Determinar a profundidade e velocidade críticas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a profundidade crítica e a velocidade crítica de escoamento em um canal retangular, e fornece os seguintes dados:
  • Largura do canal: b=3,70\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=5,60\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
    A tarefa é calcular:
  • a profundidade crítica y_c,
  • a velocidade crítica V_c.

Passo 2

O que é “crítico” aqui e qual condição usar (explicação didática).
  • Em hidráulica, escoamento crítico corresponde ao caso em que a energia específica do escoamento é mínima para uma dada vazão; é o ponto de transição entre regime subcrítico e supercrítico.
  • Uma condição prática e muito usada para achar a profundidade crítica é obter o ponto em que a derivada da energia específica em relação à profundidade é zero (mínimo). A energia específica E é dada por
E = y + \frac{Q^{2}}{2gA^{2}},
onde:
  • y é a profundidade (m),
  • Q é a vazão (m ^3/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2),
  • A é a área da seção molhada (m ^2).
  • Diferenciando E em relação a y e impondo dE/dy=0 chega-se à forma geral da condição crítica:
\frac{Q^{2}}{g}=\frac{A^{3}}{T},
onde T é a largura superficial (top width) da seção (m), isto é, T=\dfrac{dA}{dy}. Essa é uma fórmula padrão: Q^{2}/g = A^{3}/T.

Passo 3

Aplicando a condição crítica ao canal retangular (aula prática sobre A e T).
  • Para seção retangular com largura b e profundidade y temos:
A = b\,y, \qquad T = b.
  • Substituindo na condição crítica \dfrac{Q^{2}}{g}=\dfrac{A^{3}}{T} obtemos:
\frac{Q^{2}}{g}=\frac{(b\,y)^{3}}{b}=b^{2}y^{3}.
  • Isolando y (a profundidade crítica y_c) vem:
y_{c}=\left(\frac{Q^{2}}{g\,b^{2}}\right)^{1/3}.
Essa fórmula é específica e simples para canal retangular — guarda bem na cabeça para prova: eleva ao cubo, porque a área entra elevada ao cubo na condição.

Passo 4

Substituindo os números e calculando y_c passo a passo.
  • Vou usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Primeiro calcule Q^{2}:
Q^{2} = (5,60)^{2} = 31,36\\ (\mathrm{m^{6}/s^{2}}).
  • Calcule b^{2}:
b^{2} = (3,70)^{2} = 13,69\\ (\mathrm{m^{2}}).
  • Calcule o denominador g\,b^{2}:
g\,b^{2} = 9,81 \times 13,69 = 134,2989\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
  • Agora a razão:
\frac{Q^{2}}{g\,b^{2}} = \frac{31,36}{134,2989} \approx 0,2336\\ (\mathrm{m^{3}}).
  • Finalmente a profundidade crítica:
y_{c}=\left(0,2336\right)^{1/3}\approx 0,616\\ \mathrm{m}.
Observação pedagógica: para tirar raiz cúbica mentalmente, lembro que 0,6^{3}=0,216 e 0,62^{3}\approx0,238, então o valor fica entre 0,60 e 0,62 — refinando chega a 0,616.

Passo 5

Calcular a velocidade crítica V_c (duas formas e verificação).
Existem duas formas equivalentes e úteis para obter V_c:
Forma A — diretamente pela vazão e a área crítica:
V_{c}=\frac{Q}{A_{c}}=\frac{Q}{b\,y_{c}}.
Substituindo:
A_{c}=b\,y_{c}=3,70\times 0,616\approx 2,279\\ \mathrm{m^{2}},
V_{c}=\frac{5,60}{2,279}\approx 2,46\\ \mathrm{m/s}.
Forma B — pela igualdade de Froude Fr=1:
  • A velocidade crítica também satisfaz V_{c}=\sqrt{g\,y_{c}}. Verificando:
V_{c}=\sqrt{9,81\times 0,616}\approx\sqrt{6,04}\approx 2,46\\ \mathrm{m/s}.
As duas formas dão o mesmo resultado (diferenças mínimas de arredondamento), o que é ótimo para checar trabalho na prova.

Passo 6

Resumo final do raciocínio para levar pra prova (dicas rápidas).
  • Lembre: condição crítica geral \dfrac{Q^{2}}{g}=\dfrac{A^{3}}{T}. Para retangular, A=b y e T=b simplificam tudo.
  • Primeiro calcule y_c por y_{c}=\left(\dfrac{Q^{2}}{g b^{2}}\right)^{1/3}.
  • Depois V_c por V_{c}=Q/(b y_{c}) ou por V_{c}=\sqrt{g y_{c}} (cheque rápido).
  • Faça sempre uma checagem numérica entre as duas fórmulas para garantir que não houve erro de conta.

Resposta

Profundidade crítica: y_{c}=0,616\\ \mathrm{m}
Velocidade crítica: V_{c}=2,46\\ \mathrm{m/s}

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