Um canal trapezoidal é cortado na rocha ( n=0,030 ) com largura da base de 8,1 m e talude 1:0,25. Com a velocidade média permissível é de 0,75 m / s, determine a inclinação que produzirá uma descarga de 18,6 m^3 / s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Nós temos um canal trapezoidal com uma base de 8,1 metros e um talude de 1:0,25. A rugosidade da rocha é n = 0,030. Queremos achar a inclinação do canal que vai permitir uma descarga de 18,6 m³/s, sabendo que a velocidade média permitida é de 0,75 m/s. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Manning, que relaciona a descarga, a área da seção transversal, o raio hidráulico, a inclinação e a rugosidade do canal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Equação de Manning. Ela é usada para calcular a velocidade ou a descarga em canais abertos, como rios ou canais artificiais. A fórmula é:
Q = 1n times A times R^2/3 times S^1/2
Onde:
  • $ Q $ é a descarga (m³/s)
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo (m²)
  • $ R $ é o raio hidráulico (m)
  • $ S $ é a inclinação do canal

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal (A) do canal trapezoidal. A área de um trapézio é dada por:
A = (b + z times y) times y
Onde:
  • $ b $ é a largura da base (8,1 m)
  • $ z $ é o talude (1:0,25 significa que para cada 1 m de altura, a base se estende 0,25 m horizontalmente)
  • $ y $ é a profundidade do fluxo
Mas a gente não sabe a profundidade ainda. Então, vamos relacionar com a velocidade média (V).

Passo 4

A descarga (Q) também pode ser calculada pela relação:
Q = A times V
Onde $ V $ é a velocidade média (0,75 m/s). Então, rearranjando para encontrar a área:
V ²
Agora sabemos que a área da seção transversal é 24,8 m².

Passo 5

Vamos voltar à fórmula da área do trapezoide para encontrar a profundidade (y):
24,8 = (8,1 + 0,25 times y) times y
Isso resulta em uma equação quadrática:
0,25y² + 8,1y - 24,8 = 0 ²

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar $ y $. Usando a fórmula de Bhaskara:
y ²
Onde:
  • $ a = 0,25 $
  • $ b = 8,1 $
  • $ c = -24,8 $
Calculando o discriminante:
y = -b pm raizb² - 4ac2a ²
Então:
a = 0,25
A raiz positiva faz sentido aqui:
b = 8,1
Então, a profundidade do fluxo é aproximadamente 2,82 metros.

Passo 7

Com a profundidade $ y $ encontrada, podemos calcular a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
y ²
O perímetro molhado $ P $ é:
A ²²
Calculando:
P
Então:
A = (8,1 + 0,25 times 2,82) times 2,82 = (8,1 + 0,705) times 2,82 = 8,805 times 2,82 approx 24,8 , m²

Passo 8

Agora, o raio hidráulico ® é dado por:
R = AP = 24,813,91 approx 1,78 , m

Passo 9

Vamos reorganizar a Equação de Manning para encontrar a inclinação $ S $:
S
Mas primeiro, vamos reorganizar de forma mais simples:
S = ( Q times nA times R^2/3 )^2
Isolando $ S $:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2

Passo 10

Substituindo os valores que já temos:
S = ( 18,6 times 0,03024,8 times (1,78)^2/3 )^2
Calculando $ R^{2/3} $:
R^2/3
Então:
1,78^2/3 approx 1,47

Resposta

A inclinação necessária para produzir uma descarga de 18,6 m³/s é aproximadamente 0,0234 (ou 0,0234 unidades sem dimensão).

Exercícios relacionados