Um canal trapezoidal é cortado na rocha (
) com largura da base de
e talude 1:0,25. Com a velocidade média permissível é de
, determine a inclinação que produzirá uma descarga de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Nós temos um canal trapezoidal com uma base de 8,1 metros e um talude de 1:0,25. A rugosidade da rocha é n = 0,030. Queremos achar a inclinação do canal que vai permitir uma descarga de 18,6 m³/s, sabendo que a velocidade média permitida é de 0,75 m/s. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Manning, que relaciona a descarga, a área da seção transversal, o raio hidráulico, a inclinação e a rugosidade do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Equação de Manning. Ela é usada para calcular a velocidade ou a descarga em canais abertos, como rios ou canais artificiais. A fórmula é:
Onde:
- $ Q $ é a descarga (m³/s)
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo (m²)
- $ R $ é o raio hidráulico (m)
- $ S $ é a inclinação do canal
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal (A) do canal trapezoidal. A área de um trapézio é dada por:
Onde:
- $ b $ é a largura da base (8,1 m)
- $ z $ é o talude (1:0,25 significa que para cada 1 m de altura, a base se estende 0,25 m horizontalmente)
- $ y $ é a profundidade do fluxo
Mas a gente não sabe a profundidade ainda. Então, vamos relacionar com a velocidade média (V).
Passo 4
A descarga (Q) também pode ser calculada pela relação:
Onde $ V $ é a velocidade média (0,75 m/s). Então, rearranjando para encontrar a área:
Agora sabemos que a área da seção transversal é 24,8 m².
Passo 5
Vamos voltar à fórmula da área do trapezoide para encontrar a profundidade (y):
Isso resulta em uma equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar $ y $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 0,25 $
- $ b = 8,1 $
- $ c = -24,8 $
Calculando o discriminante:
Então:
A raiz positiva faz sentido aqui:
Então, a profundidade do fluxo é aproximadamente 2,82 metros.
Passo 7
Com a profundidade $ y $ encontrada, podemos calcular a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
O perímetro molhado $ P $ é:
Calculando:
Então:
Passo 8
Agora, o raio hidráulico ® é dado por:
Passo 9
Vamos reorganizar a Equação de Manning para encontrar a inclinação $ S $:
Mas primeiro, vamos reorganizar de forma mais simples:
Isolando $ S $:
Passo 10
Substituindo os valores que já temos:
Calculando $ R^{2/3} $:
Então:
Resposta
A inclinação necessária para produzir uma descarga de 18,6 m³/s é aproximadamente 0,0234 (ou 0,0234 unidades sem dimensão).