Determine a profundidade de um fluxo dágua de
em um canal retangular de 5 m de largura, assentado em um declive de
e rugosidade 0,015 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a profundidade ($ h $) de um fluxo de água que tem uma vazão de $ 7,5 , \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} $ em um canal retangular. Esse canal tem 5 metros de largura, está inclinado num declive de $ 0,030% $ e tem uma rugosidade de 0,015.
Para resolver isso, vamos usar a Equação de Manning, que é muito usada em hidráulica para calcular a velocidade ou a profundidade do fluxo em canais abertos. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos como área da seção transversal, perímetro molhado e raio hidráulico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação de Manning:
Onde:
- $ Q $ é a vazão (7,5 m³/s)
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,015)
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo
- $ R $ é o raio hidráulico
- $ S $ é o declive ($ 0,030% = 0,0003 $)
Passo 3
Como o canal é retangular, podemos expressar a área ($ A
P
h $):
Onde $ b $ é a largura do canal (5 m).
O raio hidráulico ($ R $) é dado por:
Passo 4
Vamos substituir $ A $ e $ R $ na Equação de Manning:
Agora, substituímos todos os valores conhecidos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação passo a passo:
- Calcular $ \frac{1}{n} = \frac{1}{0,015} \approx 66,6667 $.
- Calcular $ S^{1/2} = \sqrt{0,0003} \approx 0,01732 $.
- A equação fica:
Passo 6
Vamos multiplicar os termos constantes:
E:
Agora, a equação simplificada é:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a equação para facilitar os cálculos:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 8
Para encontrar $ h $, precisamos resolver essa equação que não é linear. Vamos usar um método iterativo aproximado:
- Chute inicial: Vamos supor $ h = 1 , m $.
- Calcular o lado direito e ver se iguala a 1,298.
- Ajustar $ h $ até chegar próximo ao valor correto.
Vamos tentar $ h = 1,2 , m $:
Multiplicando por $ h $:
Ainda menor que 1,298. Vamos aumentar $ h $.
Passo 9
Agora, tentemos $ h = 1,5 , m $:
Multiplicando por $ h $:
Agora, está um pouco acima de 1,298. Vamos afinar.
Passo 10
Intermediando entre 1,2 m e 1,5 m. Vamos tentar $ h = 1,3 , m $:
Multiplicando por $ h $:
Ainda abaixo. Próximo valor: $ h = 1,4 , m $.
Passo 11
Para $ h = 1,4 , m $:
Multiplicando por $ h $:
Quase lá! Isso está muito próximo de 1,298.
Resposta
A profundidade do fluxo de água no canal é aproximadamente $ 1,4 , \mathrm{m} $.