Determine a profundidade de um fluxo dágua de 7,5 m^3 / s em um canal retangular de 5 m de largura, assentado em um declive de 0,030 % e rugosidade 0,015 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a profundidade ($ h $) de um fluxo de água que tem uma vazão de $ 7,5 , \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} $ em um canal retangular. Esse canal tem 5 metros de largura, está inclinado num declive de $ 0,030% $ e tem uma rugosidade de 0,015.
Para resolver isso, vamos usar a Equação de Manning, que é muito usada em hidráulica para calcular a velocidade ou a profundidade do fluxo em canais abertos. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos como área da seção transversal, perímetro molhado e raio hidráulico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Manning:
Q = 1n cdot A cdot R^2/3 cdot S^1/2
Onde:
  • $ Q $ é a vazão (7,5 m³/s)
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,015)
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo
  • $ R $ é o raio hidráulico
  • $ S $ é o declive ($ 0,030% = 0,0003 $)

Passo 3

Como o canal é retangular, podemos expressar a área ($ A A í P P çã h $):
h
A = b cdot h
Onde $ b $ é a largura do canal (5 m).
O raio hidráulico ($ R $) é dado por:
P = b + 2h

Passo 4

Vamos substituir $ A $ e $ R $ na Equação de Manning:
A
Agora, substituímos todos os valores conhecidos:
R

Passo 5

Vamos simplificar a equação passo a passo:
  1. Calcular $ \frac{1}{n} = \frac{1}{0,015} \approx 66,6667 $.
  2. Calcular $ S^{1/2} = \sqrt{0,0003} \approx 0,01732 $.
  3. A equação fica:
1n = 10,015 approx 66,6667

Passo 6

Vamos multiplicar os termos constantes:
66,6667 cdot 5 = 333,3335
E:
333,3335 cdot 0,01732 approx 5,774
Agora, a equação simplificada é:
7,5 = 5,774 cdot h cdot ( 5h5 + 2h )^2/3

Passo 7

Agora, vamos reescrever a equação para facilitar os cálculos:
7,55,774 = h cdot ( 5h5 + 2h )^2/3
Calculando o lado esquerdo:
7,55,774 approx 1,298
Então:
1,298 = h cdot ( 5h5 + 2h )^2/3

Passo 8

Para encontrar $ h $, precisamos resolver essa equação que não é linear. Vamos usar um método iterativo aproximado:
  1. Chute inicial: Vamos supor $ h = 1 , m $.
  2. Calcular o lado direito e ver se iguala a 1,298.
  3. Ajustar $ h $ até chegar próximo ao valor correto.
Vamos tentar $ h = 1,2 , m $:
h
Multiplicando por $ h $:
h = 1 , m
Ainda menor que 1,298. Vamos aumentar $ h $.

Passo 9

Agora, tentemos $ h = 1,5 , m $:
h = 1,5 , m
Multiplicando por $ h $:
( 5 times 1,55 + 2 times 1,5 )^2/3 = ( 7,58 )^2/3 approx (0,9375)^2/3 approx 0,958
Agora, está um pouco acima de 1,298. Vamos afinar.

Passo 10

Intermediando entre 1,2 m e 1,5 m. Vamos tentar $ h = 1,3 , m $:
h = 1,3 , m
Multiplicando por $ h $:
( 5 times 1,35 + 2 times 1,3 )^2/3 = ( 6,57,6 )^2/3 approx (0,8553)^2/3 approx 0,893
Ainda abaixo. Próximo valor: $ h = 1,4 , m $.

Passo 11

Para $ h = 1,4 , m $:
h = 1,4 , m
Multiplicando por $ h $:
( 5 times 1,45 + 2 times 1,4 )^2/3 = ( 77,8 )^2/3 approx (0,8974)^2/3 approx 0,925
Quase lá! Isso está muito próximo de 1,298.

Resposta

A profundidade do fluxo de água no canal é aproximadamente $ 1,4 , \mathrm{m} $.

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