Um fluxo de
é transportado em um conduto que é semi-quadrado. O conduto tem 1250 m de comprimento e decai de
nesta extensão. Usando a Fórmula de Manning com
, determine a dimensões da seção do canal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluxo de água de
passando por um canal que tem uma seção semi-quadrada. Esse canal tem 1250 metros de comprimento e desce 1,0 metro nesse trecho. A gente vai usar a Fórmula de Manning, que ajuda a calcular a velocidade e outras características de fluxos em canais abertos. Para isso, vamos precisar do coeficiente de rugosidade
. Nosso objetivo é descobrir as dimensões da seção desse canal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Fórmula de Manning. Ela é dada por:
Onde:
-
é a velocidade do fluxo ( ), -
é o coeficiente de rugosidade, -
é o raio hidráulico ( ), -
é a inclinação do canal.
O raio hidráulico
é definido como:
Onde:
-
é a área da seção transversal ( ), -
é o perímetro molhado ( ).
Passo 3
Vamos calcular a inclinação
do canal. Sabemos que o canal desce 1,0 metro em 1250 metros de comprimento. Então:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar o fluxo
com a velocidade
e a área
:
Queremos encontrar as dimensões da seção semi-quadrada, então vamos assumir que a altura e a largura do quadrado completo são iguais a
. Como a seção é semi-quadrada, a área
será metade da área de um quadrado completo.
Passo 5
Para encontrar o perímetro molhado
, que é o comprimento do contato da água com as paredes do canal, para uma seção semi-quadrada:
Passo 6
Agora, calculamos o raio hidráulico
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos substituir
e
na Fórmula de Manning e também relacionar com o fluxo
:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, resolvemos essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos simplificar os termos constantes:
Multiplicando os constantes:
Simplificando mais:
Calculando os coeficientes:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Calculando
, então:
Então:
Passo 10
Agora, resolvemos para
:
Calculando:
Resposta
As dimensões da seção do canal semi-quadrado são aproximadamente
de altura e
de largura.