Um fluxo de 2,25 m^3 / s é transportado em um conduto que é semi-quadrado. O conduto tem 1250 m de comprimento e decai de 1,0 m nesta extensão. Usando a Fórmula de Manning com n=0,013, determine a dimensões da seção do canal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluxo de água de 2,25 , m^3/s passando por um canal que tem uma seção semi-quadrada. Esse canal tem 1250 metros de comprimento e desce 1,0 metro nesse trecho. A gente vai usar a Fórmula de Manning, que ajuda a calcular a velocidade e outras características de fluxos em canais abertos. Para isso, vamos precisar do coeficiente de rugosidade n = 0,013. Nosso objetivo é descobrir as dimensões da seção desse canal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Fórmula de Manning. Ela é dada por:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Onde:
  • V é a velocidade do fluxo ( m/s),
  • n é o coeficiente de rugosidade,
  • R é o raio hidráulico ( m),
  • S é a inclinação do canal.
O raio hidráulico R é definido como:
R = AP
Onde:
  • A é a área da seção transversal ( m^2),
  • P é o perímetro molhado ( m).

Passo 3

Vamos calcular a inclinação S do canal. Sabemos que o canal desce 1,0 metro em 1250 metros de comprimento. Então:
S = Variação de açã

Passo 4

Agora, precisamos relacionar o fluxo Q com a velocidade V e a área A:
Q = V times A
Queremos encontrar as dimensões da seção semi-quadrada, então vamos assumir que a altura e a largura do quadrado completo são iguais a h. Como a seção é semi-quadrada, a área A será metade da área de um quadrado completo.
A = h times h2 = h^22

Passo 5

Para encontrar o perímetro molhado P, que é o comprimento do contato da água com as paredes do canal, para uma seção semi-quadrada:
P = h + h + pi h2 = 2h + pi h2 = h (2 + pi2)

Passo 6

Agora, calculamos o raio hidráulico R:
R = AP = h^22h (2 + pi2) = h2 (2 + pi2)
Simplificando:
R = h4 + pi

Passo 7

Vamos substituir R e S na Fórmula de Manning e também relacionar com o fluxo Q:
Q = V times A = 1n R^2/3 S^1/2 times A
Substituindo A e R:
2,25 = 10,013 (h4 + pi)^2/3 times raiz0,0008 times h^22

Passo 8

Agora, resolvemos essa equação para encontrar h. Primeiro, vamos simplificar os termos constantes:
2,25 = 10,013 (h4 + pi)^2/3 times 0,02828 times h^22
Multiplicando os constantes:
2,25 = 10,013 times 0,02828 times h^2 + 2/3(4 + pi)^2/3 times 2
Simplificando mais:
2,25 = 0,028280,013 times 2 times h^8/3(4 + pi)^2/3
Calculando os coeficientes:
2,25 = 0,028280,026 times h^8/3(4 + pi)^2/3 approx 1,0892 times h^8/3(4 + pi)^2/3

Passo 9

Agora, isolamos h^8/3:
2,251,0892 = h^8/3(4 + pi)^2/3
2,065 = h^8/3(4 + pi)^2/3
Multiplicando ambos os lados por (4 + pi)^2/3:
2,065 times (4 + pi)^2/3 = h^8/3
Calculando 4 + pi approx 7,1416, então:
2,065 times (7,1416)^2/3 approx 2,065 times 3,365 = 6,942
Então:
h^8/3 = 6,942

Passo 10

Agora, resolvemos para h:
h = (6,942)^3/8
Calculando:
h approx 1,5 , m

Resposta

As dimensões da seção do canal semi-quadrado são aproximadamente 1,5 , m de altura e 3,0 , m de largura.

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