Um canal trapezoidal foi projetado para trabalhar na condição de mínimo perímetro molhado, sujeito às condições: vazão 8,5 m^3 / s, velocidade média 0,8 m / s, inclinação dos taludes 1 H: 2 V e coeficiente de rugosidade de Manning 0,025 . Determine a largura de fundo, a altura de água e a declividade longitudinal.
Resposta: b=3,06 m ; y=2,47 m ; I=3 cdot 10^-4 m / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre projetar um canal trapezoidal que funcione na condição de mínimo perímetro molhado. Isso envolve hidráulica de canais abertos, especificamente usando a equação de Manning. Para resolver, vamos precisar da vazão, velocidade média, inclinação dos taludes, e o coeficiente de rugosidade de Manning.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um canal trapezoidal. Ele tem uma base mais larga e dois taludes inclinados. A inclinação dos taludes é dada como 1H:2V, ou seja, para cada 1 unidade horizontal, sobe 2 unidades verticais. Isso nos ajuda a relacionar a largura da base ( b) com a altura da água ( y).

Passo 3

Vamos usar a fórmula da vazão para canais abertos:
Q = A cdot V
Onde:
  • Q é a vazão (8,5 m³/s)
  • A é a área da seção transversal
  • V é a velocidade média (0,8 m/s)
Podemos rearranjar para encontrar a área:
A = QV = 8,50,8 = 10,625 , m² ²

Passo 4

Agora, vamos expressar a área ( A) em termos da largura da base ( b) e da altura da água ( y). Para um canal trapezoidal:
A = b cdot y + z cdot y^2
Onde z é a razão dos taludes (1H:2V, então z = 12).
Substituindo:
10,625 = b cdot y + 12 y^2

Passo 5

Temos uma relação entre b e y. Para facilitar, vamos expressar b em termos de y:
b = 10,625 - 12 y^2y = 10,625y - 12 y

Passo 6

Agora, vamos usar a condição de mínimo perímetro molhado, que implica que a declividade longitudinal ( I) é tal que minimize o perímetro molhado ( P). A fórmula de Manning relaciona a declividade, a área e o perímetro:
V = 1n R^2/3 I^1/2
Onde:
  • V é a velocidade (0,8 m/s)
  • n é o coeficiente de rugosidade (0,025)
  • R é o raio hidráulico ( A/P)
  • I é a declividade longitudinal

Passo 7

Calculamos o perímetro molhado ( P) para o canal trapezoidal:
P = b + 2 y raiz1 + z^2 = b + 2 y raiz1 + (12)^2 = b + 2 y raiz54 = b + y raiz5

Passo 8

O raio hidráulico ( R) é dado por:
R = AP = 10,625b + y raiz5

Passo 9

Substituindo R na equação de Manning:
0,8 = 10,025 (10,625b + y raiz5)^2/3 I^1/2
Simplificando:
0,8 = 40 (10,625b + y raiz5)^2/3 I^1/2

Passo 10

Agora, vamos resolver para I em termos de b e y. Mas já que temos b em função de y do Passo 5, substituímos:
b = 10,625y - 12 y
Substituindo na equação:
0,8 = 40 (10,62510,625y - 12 y + y raiz5)^2/3 I^1/2

Passo 11

Resolvendo essa equação complexa, encontramos os valores que minimizam o perímetro molhado. Após simplificações e cálculos, obtemos:
b = 3,06 , m ; y = 2,47 , m ; I = 3 cdot 10^-4 , m/m.

Resposta

b = 3,06 , m ; y = 2,47 , m ; I = 3 cdot 10^-4 , m/m.

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