Um canal trapezoidal foi projetado para trabalhar na condição de mínimo perímetro molhado, sujeito às condições: vazão
, velocidade média
, inclinação dos taludes
e coeficiente de rugosidade de Manning 0,025 . Determine a largura de fundo, a altura de água e a declividade longitudinal.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre projetar um canal trapezoidal que funcione na condição de mínimo perímetro molhado. Isso envolve hidráulica de canais abertos, especificamente usando a equação de Manning. Para resolver, vamos precisar da vazão, velocidade média, inclinação dos taludes, e o coeficiente de rugosidade de Manning.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um canal trapezoidal. Ele tem uma base mais larga e dois taludes inclinados. A inclinação dos taludes é dada como 1H:2V, ou seja, para cada 1 unidade horizontal, sobe 2 unidades verticais. Isso nos ajuda a relacionar a largura da base (
) com a altura da água (
).
Passo 3
Vamos usar a fórmula da vazão para canais abertos:
Onde:
-
é a vazão (8,5 m³/s) -
é a área da seção transversal -
é a velocidade média (0,8 m/s)
Podemos rearranjar para encontrar a área:
Passo 4
Agora, vamos expressar a área (
) em termos da largura da base (
) e da altura da água (
). Para um canal trapezoidal:
Onde
é a razão dos taludes (1H:2V, então
).
Substituindo:
Passo 5
Temos uma relação entre
e
. Para facilitar, vamos expressar
em termos de
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição de mínimo perímetro molhado, que implica que a declividade longitudinal (
) é tal que minimize o perímetro molhado (
). A fórmula de Manning relaciona a declividade, a área e o perímetro:
Onde:
-
é a velocidade (0,8 m/s) -
é o coeficiente de rugosidade (0,025) -
é o raio hidráulico ( ) -
é a declividade longitudinal
Passo 7
Calculamos o perímetro molhado (
) para o canal trapezoidal:
Passo 8
O raio hidráulico (
) é dado por:
Passo 9
Substituindo
na equação de Manning:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos resolver para
em termos de
e
. Mas já que temos
em função de
do Passo 5, substituímos:
Substituindo na equação:
Passo 11
Resolvendo essa equação complexa, encontramos os valores que minimizam o perímetro molhado. Após simplificações e cálculos, obtemos: