A água é direcionada a alpha1=50^circ em direção às pás da turbina Kaplan à esquerda e sai das pás na direção axial. Cada pá tem um raio interno de 200 mm e um raio externo de 600 mm . Se as pás estão girando a omega=28 rad / s e a vazão é de 8 m^3 / s, determine a potência que a água fornece à turbina.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma turbina Kaplan com algumas informações sobre a água que passa por ela. O que precisamos saber é como calcular a potência que a água está fornecendo para a turbina. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de dinâmica dos fluidos e energia em turbinas. Vamos precisar usar fórmulas de conservação de momento e entender como a força da água gera torque na turbina.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Ângulo de entrada da água: alpha1 = 50^circ
  • Raio interno das pás: rin = 200 mm = 0,2 m
  • Raio externo das pás: rout = 600 mm = 0,6 m
  • Velocidade angular das pás: omega = 28 rad/s
  • Vazão de água: Q = 8 m^3/s

Passo 3

Vamos assumir que a densidade da água é rho = 1000 kg/m^3. Para encontrar a potência fornecida pela água à turbina, precisamos calcular a força que a água exerce nas pás e, a partir disso, o torque gerado.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da água na direção tangencial quando ela sai das pás. A velocidade tangencial v é dada por:
v = omega cdot r
Como a velocidade varia do raio interno ao externo, vamos considerar a velocidade média v:
v = omega cdot rin + rout2 = 28 cdot 0,2 + 0,62 = 28 cdot 0,4 = 11,2 m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa de água que passa por segundo, usando a vazão Q:
dotm = rho cdot Q = 1000 cdot 8 = 8000 kg/s

Passo 6

A força que a água exerce nas pás pode ser relacionada à mudança na quantidade de movimento. Como a água entra com um ângulo e sai axialmente, a componente tangencial da velocidade muda. A força tangencial Ft é:
Ft = dotm cdot (vsaida - ventrada cdot cos alpha1)
Como a saída é axial, vsaida = v e ventrada = v:
Ft = 8000 cdot (11,2 - 11,2 cdot cos 50^circ)
Calculando cos 50^circ approx 0,6428:
Ft = 8000 cdot (11,2 - 11,2 cdot 0,6428) = 8000 cdot (11,2 - 7,2) = 8000 cdot 4 = 32000 N

Passo 7

Com a força tangencial, podemos calcular o torque T exercido sobre a turbina. O torque é a força multiplicada pelo raio médio:
T = Ft cdot r = 32000 cdot 0,4 = 12800 N·m

Passo 8

Finalmente, a potência P fornecida à turbina é o torque multiplicado pela velocidade angular:
P = T cdot omega = 12800 cdot 28 = 358400 W

Resposta

A potência que a água fornece à turbina é de aproximadamente 3,58 times 10^5 W.

Exercícios relacionados