4- Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a
, relação entre taludes de
:
, coeficiente de rugosidade de Manning
e declividade de fundo
transporta em regime uniforme uma vazào
. Em uma determinada seçåo existe um degrau com altura de fundo
.
(a) Determine o regime de escoamento a montante do degrau;
(b) Verifique se o degrau influencia as condições de escoamento a montante. Isto é, encontre a profundidade critica sobre o degrau e a profundidade da água sobre o degrau.
(a) Determine o regime de escoamento a montante do degrau;
(b) Verifique se o degrau influencia as condições de escoamento a montante. Isto é, encontre a profundidade critica sobre o degrau e a profundidade da água sobre o degrau.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede, com todos os dados numéricos extraídos do enunciado:
- Dados do canal trapezoidal:
- Largura de fundo:
. - Talude:
(horizontal) : (vertical). Vou usar como coeficiente do talude (isto é, por unidade de profundidade há de largura horizontal). - Coeficiente de Manning:
. - Declividade do fundo:
. - Vazão:
.
- Largura de fundo:
- Há um degrau de fundo com altura
(o fundo sobe em relação à seção anterior). - O enunciado pede:
(a) determinar o regime de escoamento a montante do degrau (isto é: subcrítico ou supercrítico);
(b) verificar se o degrau influencia as condições a montante — especificamente: encontrar a profundidade crítica sobre o degrau e a profundidade real da água sobre o degrau.
Obs.: vou usar
. No desenvolvimento preciso calcular a profundidade normal a montante (a profundidade uniforme
) usando a equação de Manning, depois o número de Froude para classificar o escoamento, e então tratar o controle pelo degrau usando energia específica e profundidade crítica.
Passo 2
Relembre comigo as fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Geometria do canal trapezoidal (profundidade
): - Área molhada:
Aqui é a largura de fundo e é o talude (largura horizontal por unidade de altura). - Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Largura na superfície (top-width):
- Área molhada:
- Equação de Manning para escoamento uniforme (para encontrar a profundidade normal
): onde é a declividade do fundo. - Número de Froude (para classificar escoamento):
com velocidade média e profundidade hidráulica . Se é subcrítico; se é supercrítico. - Condição de profundidade crítica (derivada da condição
onde é a energia específica): Essa equação é utilizada para encontrar a profundidade crítica (depende somente da geometria e de , não da cota do fundo). - Energia específica por unidade de peso (referida ao fundo do canal):
Ao atravessar um degrau de elevação (fundo sobe), a energia específica se reduz: . Se a energia disponível após o degrau ficar abaixo da energia mínima (energia no ponto crítico ), não existe solução contínua e o degrau impõe controle crítico.
Passo 3
Cálculo da profundidade normal
(usar Manning). Primeiro escrevo as expressões explícitas com os dados:
-
, , , , . -
. -
-
.
A equação de Manning é não-linear em
, então resolvemos por tentativa/iteração (bissecção/ensaios). Faço tentativas e mostro os cálculos principais (vou arredondar resultados intermediários com 4 dígitos, manter precisão suficiente):
- Teste em
:
-
. -
. -
. -
. -
. - Pela Manning:
Isso é maior que: a profundidade normal é menor que .
- Teste em
:
-
, , , . -
. Logo .
- Teste em
:
-
, , , . -
(ligeiramente maior que ). Então .
- Refinando entre
e :
- Em
: (abaixo de ). - Em
: (acima de ). - Em
: (abaixo).
Interpolando entre
e
chego a
(arredondado), que satisfaz
.
Portanto a profundidade normal a montante é
Passo 4
Calcular o número de Froude a montante e interpretar (regime):
- Use
e .
Para: -
(valor obtido nos cálculos do passo anterior). -
-
- Profundidade hidráulica
- Velocidade média
-
- Número de Froude:
Conclusão: como
, o escoamento a montante do degrau é subcrítico (escoamento tranquilo). Isso responde a parte (a).
Passo 5
Encontrar a profundidade crítica
(para a mesma vazão
e geometria). Usamos a condição crítica:
Substituindo
e
, resolvemos numericamente para
.
Faço tentativas:
- Em
: a razão vale . - Em
: razão . - Em
: razão . - Em
: razão (ligeiramente menor que 1). - Em
: razão .
Interpolando entre
e
obtenho a raiz
Esse é o valor da profundidade crítica no canal trapezoidal para
.
Passo 6
Verificar se o degrau influencia a jusante (isto é, se impõe controle e afeta a montante). Procedimento:
- Calcular a energia específica a montante imediatamente antes do degrau usando
: Com e : -
- Após o degrau (fundo sobe
), a energia disponível é - Energia mínima (energia no ponto crítico) é
: - Para
, . -
. -
. -
- Para
Comparação:
é menor que
. Isso significa que, com a energia disponível após o degrau, não existe profundidade contínua que satisfaça a equação de energia — em outras palavras, o degrau reduz a energia demais e impõe uma condição crítica. Conclusão: o degrau influencia as condições a montante — ele atua como um controle (contrôle hidráulico) que força a seção do degrau a ficar em condição crítica.
Quando isso ocorre, a profundidade sobre o degrau valerá a profundidade crítica
(pois o degrau impõe o controle crítico). Portanto:
- Profundidade crítica sobre o degrau:
- Profundidade real da água sobre o degrau: como o degrau impõe controle, a profundidade sobre o degrau será a profundidade crítica, isto é
(Adicional — interpretação para montagem de prova): como o degrau impõe controle, a montante o escoamento se ajusta e a profundidade montante aumentará em relação à profundidade normal original. Se for necessário, pode-se calcular a nova profundidade montante
resolvendo
; seguindo esse procedimento encontrei
, o que mostra o aumento de profundidade a montante devido ao controle. Isso confirma que o degrau influencia as condições a montante.
Resposta
(a) Escoamento a montante: subcrítico (
); profundidade normal a montante
.
(b) Sim — o degrau impõe controle (energia após o degrau ). Profundidade crítica sobre o degrau
. Profundidade da água sobre o degrau
.
(b) Sim — o degrau impõe controle (energia após o degrau