4- Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 2,50 \mathrm{~m}, relação entre taludes de 1,5(\mathrm{H}) : 1,0(\mathrm{~V}), coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}=0,013 e declividade de fundo \mathrm{I} \mathrm{o}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} transporta em regime uniforme uma vazào \mathrm{Q}=4,7 \mathrm{m3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seçåo existe um degrau com altura de fundo \mathrm{DZ}=0,275 \mathrm{~m}.
(a) Determine o regime de escoamento a montante do degrau;
(b) Verifique se o degrau influencia as condições de escoamento a montante. Isto é, encontre a profundidade critica sobre o degrau e a profundidade da água sobre o degrau. (3,50)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede, com todos os dados numéricos extraídos do enunciado:
  • Dados do canal trapezoidal:
    • Largura de fundo: b=2{,}50\\ \mathrm{m}.
    • Talude: 1{,}5 (horizontal) : 1{,}0 (vertical). Vou usar m=1{,}5 como coeficiente do talude (isto é, por unidade de profundidade há m de largura horizontal).
    • Coeficiente de Manning: n=0{,}013.
    • Declividade do fundo: I_{o}=0{,}001.
    • Vazão: Q=4{,}7\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Há um degrau de fundo com altura \Delta Z = 0{,}275\\ \mathrm{m} (o fundo sobe em relação à seção anterior).
  • O enunciado pede:
    (a) determinar o regime de escoamento a montante do degrau (isto é: subcrítico ou supercrítico);
    (b) verificar se o degrau influencia as condições a montante — especificamente: encontrar a profundidade crítica sobre o degrau e a profundidade real da água sobre o degrau.
Obs.: vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. No desenvolvimento preciso calcular a profundidade normal a montante (a profundidade uniforme y_n) usando a equação de Manning, depois o número de Froude para classificar o escoamento, e então tratar o controle pelo degrau usando energia específica e profundidade crítica.

Passo 2

Relembre comigo as fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Geometria do canal trapezoidal (profundidade y):
    • Área molhada: A(y)=b\,y + m\,y^{2}.Aqui b é a largura de fundo e m é o talude (largura horizontal por unidade de altura).
    • Perímetro molhado: P(y)=b + 2\,y\sqrt{1+m^{2}}.
    • Raio hidráulico: R(y)=\frac{A(y)}{P(y)}.
    • Largura na superfície (top-width): T(y)=b + 2m y.
  • Equação de Manning para escoamento uniforme (para encontrar a profundidade normal y_n): Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},onde S=I_{o} é a declividade do fundo.
  • Número de Froude (para classificar escoamento): Fr=\frac{V}{\sqrt{gD}},com velocidade média V=\dfrac{Q}{A} e profundidade hidráulica D=\dfrac{A}{T}. Se Fr<1 é subcrítico; se Fr>1 é supercrítico.
  • Condição de profundidade crítica (derivada da condição dE/dy=0 onde E é a energia específica): \frac{Q^{2}\,T(y)}{g\,A(y)^{3}}=1.Essa equação é utilizada para encontrar a profundidade crítica y_c (depende somente da geometria e de Q, não da cota do fundo).
  • Energia específica por unidade de peso (referida ao fundo do canal): E(y)=y + \frac{V^{2}}{2g}=y + \frac{Q^{2}}{2g\,A(y)^{2}}.Ao atravessar um degrau de elevação \Delta Z (fundo sobe), a energia específica se reduz: E_{2}=E_{1}-\Delta Z. Se a energia disponível após o degrau E_{2} ficar abaixo da energia mínima (energia no ponto crítico E_{min}=E(y_c)), não existe solução contínua e o degrau impõe controle crítico.

Passo 3

Cálculo da profundidade normal y_{n} (usar Manning). Primeiro escrevo as expressões explícitas com os dados:
  • b=2{,}50, m=1{,}5, S=0{,}001, n=0{,}013, Q=4{,}7.
  • A(y)=2{,}50\,y + 1{,}5\,y^{2}.
  • P(y)=2{,}50 + 2\,y\sqrt{1+1{,}5^{2}} = 2{,}50 + 2\,y\sqrt{3{,}25}.
  • R(y)=A/P.
A equação de Manning é não-linear em y, então resolvemos por tentativa/iteração (bissecção/ensaios). Faço tentativas e mostro os cálculos principais (vou arredondar resultados intermediários com 4 dígitos, manter precisão suficiente):
  1. Teste em y=1{,}00\\ \mathrm{m}:
  • A=2{,}5\cdot1{,}00 +1{,}5\cdot1{,}00^{2}=4{,}00\\ \mathrm{m^{2}}.
  • \sqrt{1+m^{2}}=\sqrt{3{,}25}=1{,}8027756.
  • P=2{,}5 +2\cdot1{,}00\cdot1{,}80278=6{,}10555\\ \mathrm{m}.
  • R=4{,}00/6{,}10555=0{,}6552\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}=0{,}6552^{2/3}\approx0{,}7549.
  • Pela Manning: Q_{est}=\dfrac{1}{0{,}013}\cdot4{,}00\cdot0{,}7549\cdot\sqrt{0{,}001}\approx7{,}337\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    Isso é maior que 4{,}7: a profundidade normal é menor que 1{,}00\\ \mathrm{m}.
  1. Teste em y=0{,}60\\ \mathrm{m}:
  • A=2{,}04\\ \mathrm{m^{2}}, P\approx4{,}66333\\ \mathrm{m}, R\approx0{,}4376, R^{2/3}\approx0{,}5762.
  • Q_{est}\approx2{,}863\\ \mathrm{m^{3}/s}<4{,}7. Logo y_n>0{,}60.
  1. Teste em y=0{,}80\\ \mathrm{m}:
  • A=2{,}96\\ \mathrm{m^{2}}, P\approx5{,}38444\\ \mathrm{m}, R\approx0{,}5497, R^{2/3}\approx0{,}6713.
  • Q_{est}\approx4{,}832\\ \mathrm{m^{3}/s} (ligeiramente maior que 4{,}7). Então y_n<0{,}80.
  1. Refinando entre 0{,}78 e 0{,}80:
  • Em y=0{,}78: Q_{est}\approx4{,}612\\ \mathrm{m^3/s} (abaixo de 4{,}7).
  • Em y=0{,}792: Q_{est}\approx4{,}737\\ \mathrm{m^3/s} (acima de 4{,}7).
  • Em y=0{,}788: Q_{est}\approx4{,}689\\ \mathrm{m^3/s} (abaixo).
Interpolando entre y=0{,}788 e y=0{,}792 chego a y_{n}\approx0{,}789\\ \mathrm{m} (arredondado), que satisfaz Q\approx4{,}7\\ \mathrm{m^3/s}.
Portanto a profundidade normal a montante é
y_{n}\approx0{,}789\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o número de Froude a montante e interpretar (regime):
  • Use A_{1}=A(y_{n}) e T_{1}=T(y_{n})=b+2m y_{n}.
    Para y_{n}=0{,}789:
    • A_{1}\approx2{,}9063\\ \mathrm{m^{2}} (valor obtido nos cálculos do passo anterior).
    • T_{1}=2{,}50 + 2\cdot1{,}5\cdot0{,}789 = 2{,}50 + 2{,}367 = 4{,}867\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade hidráulica D=\dfrac{A_{1}}{T_{1}}\approx \dfrac{2{,}9063}{4{,}867}=0{,}5972\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média V=\dfrac{Q}{A_{1}}=\dfrac{4{,}7}{2{,}9063}\approx1{,}618\\ \mathrm{m/s}.
  • \sqrt{gD}=\sqrt{9{,}81\cdot0{,}5972}\approx2{,}421\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Froude: Fr=\frac{V}{\sqrt{gD}}\approx\frac{1{,}618}{2{,}421}\approx0{,}668.
Conclusão: como Fr\approx0{,}668<1, o escoamento a montante do degrau é subcrítico (escoamento tranquilo). Isso responde a parte (a).

Passo 5

Encontrar a profundidade crítica y_{c} (para a mesma vazão Q e geometria). Usamos a condição crítica:
\frac{Q^{2}T(y)}{g\,A(y)^{3}}=1.
Substituindo A(y)=2{,}5y + 1{,}5y^{2} e T(y)=2{,}5 + 2\cdot1{,}5\,y, resolvemos numericamente para y.
Faço tentativas:
  • Em y=0{,}60: a razão vale \approx1{,}136>1.
  • Em y=0{,}64: razão \approx0{,}917<1.
  • Em y=0{,}62: razão \approx1{,}020>1.
  • Em y=0{,}625: razão \approx0{,}993 (ligeiramente menor que 1).
  • Em y=0{,}622: razão \approx1{,}009>1.
Interpolando entre 0{,}622 e 0{,}625 obtenho a raiz
y_{c}\approx0{,}624\\ \mathrm{m}.
Esse é o valor da profundidade crítica no canal trapezoidal para Q=4{,}7\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Verificar se o degrau influencia a jusante (isto é, se impõe controle e afeta a montante). Procedimento:
  • Calcular a energia específica a montante imediatamente antes do degrau usando y_{1}=y_{n}: E_{1}=y_{1} + \frac{Q^{2}}{2g\,A_{1}^{2}}.Com y_{1}=0{,}789 e A_{1}\approx2{,}9063:
    • V_{1}=Q/A_{1}\approx1{,}618\\ \mathrm{m/s}\Rightarrow \dfrac{V_{1}^{2}}{2g}\approx0{,}1334\\ \mathrm{m}.
    • E_{1}\approx0{,}789 + 0{,}1334 = 0{,}9224\\ \mathrm{m}.
  • Após o degrau (fundo sobe \Delta Z=0{,}275), a energia disponível é E_{2}=E_{1} - \Delta Z \approx 0{,}9224 - 0{,}275 = 0{,}6474\\ \mathrm{m}.
  • Energia mínima (energia no ponto crítico) é E_{min}=E(y_{c}):
    • Para y_{c}=0{,}624, A_{c}\approx2{,}144\\ \mathrm{m^{2}}.
    • V_{c}=Q/A_{c}\approx4{,}7/2{,}144\approx2{,}192\\ \mathrm{m/s}.
    • \dfrac{V_{c}^{2}}{2g}\approx0{,}2449\\ \mathrm{m}.
    • E_{min}=y_{c} + \dfrac{V_{c}^{2}}{2g}\approx0{,}624 + 0{,}2449 = 0{,}8689\\ \mathrm{m}.
Comparação: E_{2}\approx0{,}6474\\ \mathrm{m} é menor que E_{min}\approx0{,}8689\\ \mathrm{m}. Isso significa que, com a energia disponível após o degrau, não existe profundidade contínua que satisfaça a equação de energia — em outras palavras, o degrau reduz a energia demais e impõe uma condição crítica. Conclusão: o degrau influencia as condições a montante — ele atua como um controle (contrôle hidráulico) que força a seção do degrau a ficar em condição crítica.
Quando isso ocorre, a profundidade sobre o degrau valerá a profundidade crítica y_{c} (pois o degrau impõe o controle crítico). Portanto:
  • Profundidade crítica sobre o degrau: y_{c}\approx0{,}624\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade real da água sobre o degrau: como o degrau impõe controle, a profundidade sobre o degrau será a profundidade crítica, isto é y_{deg}\approx y_{c}\approx0{,}624\\ \mathrm{m}.
(Adicional — interpretação para montagem de prova): como o degrau impõe controle, a montante o escoamento se ajusta e a profundidade montante aumentará em relação à profundidade normal original. Se for necessário, pode-se calcular a nova profundidade montante y_{montante\_ajustada} resolvendo E(y)=E_{min} + \Delta Z; seguindo esse procedimento encontrei y_{montante\_ajustada}\approx1{,}088\\ \mathrm{m}, o que mostra o aumento de profundidade a montante devido ao controle. Isso confirma que o degrau influencia as condições a montante.

Resposta

(a) Escoamento a montante: subcrítico ( Fr\approx0{,}668); profundidade normal a montante y_{n}\approx0{,}789\\ \mathrm{m}.
(b) Sim — o degrau impõe controle (energia após o degrau E_{2}<E_{min}). Profundidade crítica sobre o degrau y_{c}\approx0{,}624\\ \mathrm{m}. Profundidade da água sobre o degrau y_{deg}\approx0{,}624\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados