O coeficiente de arrasto de um carro aumenta quando as janelas ou o teto solar estão abertos. Um carro esporte tem área frontal de 2.04 \mathrm{~m}^{2} e um coeficiente de arrasto de 0.32 quando o teto solar e as janelas estão fechados. O coeficiente de arrasto aumenta para 0.41 quando o teto solar está aberto. Determine a potência adicional devido a abertura do teto solar consumida pelo carro quando ele se move a (a) 50 \mathrm{km} / \mathrm{h} e (b) 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Considere a densidade do ar 1.16 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a potência adicional (extra) que o carro consome quando o teto solar está aberto, comparando com o caso em que está fechado, para duas velocidades:
    • (a) 50\\ \mathrm{km/h}
    • (b) 120\\ \mathrm{km/h}
Informações fornecidas:
  • Área frontal: A=2{,}04\\ \mathrm{m}^2.
  • Coeficiente de arrasto com teto fechado: C_{d,\text{fechado}}=0{,}32.
  • Coeficiente de arrasto com teto aberto: C_{d,\text{aberto}}=0{,}41.
  • Densidade do ar: \rho=1{,}16\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Velocidades: 50\\ \mathrm{km/h} e 120\\ \mathrm{km/h}.
O que será calculado:
  • A potência adicional devido ao aumento do coeficiente de arrasto quando o teto está aberto, para cada velocidade dada.

Passo 2

Fórmulas físicas envolvidas e explicação didática:
  • A força de arrasto (resistência do ar) em regime turbulento e para velocidades usuais é dada por
F_D=\tfrac{1}{2}\,\rho\,C_d\,A\,v^2,
onde:
  • F_D é a força de arrasto (N),
  • \rho é a densidade do fluido (aqui ar) ( \mathrm{kg/m}^3),
  • C_d é o coeficiente de arrasto (adimensional),
  • A é a área frontal ( \mathrm{m}^2),
  • v é a velocidade relativa do ar ( \mathrm{m/s}).
  • A potência gasta para vencer essa força (potência aerodinâmica) é a força vezes a velocidade:
P=F_D\,v=\tfrac{1}{2}\,\rho\,C_d\,A\,v^3.
  • A potência adicional quando o teto está aberto é a diferença entre as potências nos dois casos:
\Delta P = \tfrac{1}{2}\,\rho\,A\,(C_{d,\text{aberto}}-C_{d,\text{fechado}})\,v^3.
Aqui \Delta P é a potência extra (W) que queremos calcular.
  • Conversão de velocidades: para usar a fórmula acima, v precisa estar em \mathrm{m/s}. A conversão é
v\\ (\mathrm{m/s})=\frac{v\\ (\mathrm{km/h})}{3{,}6}.

Passo 3

Calcular o fator constante que multiplica v^3:
  • Diferença de coeficientes:
\Delta C_d = C_{d,\text{aberto}}-C_{d,\text{fechado}}=0{,}41-0{,}32=0{,}09.
  • Constante K=\tfrac{1}{2}\,\rho\,A\,\Delta C_d. Substituindo os valores:
K=\tfrac{1}{2}\times 1{,}16\times 2{,}04 \times 0{,}09.
Faço a conta passo a passo:
\tfrac{1}{2}\times 1{,}16=0{,}58,
0{,}58\times 2{,}04 = 1{,}1832,
1{,}1832\times 0{,}09 = 0{,}106488.
Logo
\Delta P = K\,v^3,\qquad K=0{,}106488\quad(\mathrm{W\cdot s^3/m^3}).

Passo 4

Caso (a): 50\\ \mathrm{km/h}.
  • Converter para \mathrm{m/s}:
v=\frac{50}{3{,}6}=\frac{125}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 13{,}8889\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular v^3. Usando a forma fracionária:
v^3=\left(\frac{125}{9}\right)^3=\frac{1\,953\,125}{729}\approx 2\,679{,}183.
  • Calcular \Delta P:
\Delta P=K\,v^3=0{,}106488\times 2\,679{,}183\approx 285{,}3\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Caso (b): 120\\ \mathrm{km/h}.
  • Converter para \mathrm{m/s}:
v=\frac{120}{3{,}6}=\frac{100}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 33{,}3333\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular v^3. Usando a forma fracionária:
v^3=\left(\frac{100}{3}\right)^3=\frac{1\,000\,000}{27}\approx 37\,037{,}037.
  • Calcular \Delta P:
\Delta P=K\,v^3=0{,}106488\times 37\,037{,}037\approx 3\,944\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • Em velocidades baixas a potência extra é moderada (da ordem de centenas de watts), mas em velocidades altas sobe rapidamente porque \Delta P cresce com v^3. Isso mostra por que abrir janelas/teto em estrada consome bem mais combustível em altas velocidades — é o cubo da velocidade fazendo estrago.
  • Você está indo bem; esses passos são exatamente o que vale mostrar numa prova: fórmulas, definições de variáveis, conversão de unidades, constante numérica e cálculo para cada caso.

Resposta

(a) 285\\ \mathrm{W}
(b) 3{,}94\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados