Questão 9 - Gases quentes saindo à 450^{\circ} \mathrm{C} de um motor a Diesel, entram em um tubo de 15 centímetros de diâmetro com velocidade média de 3,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A superfície do tubo encontra-se à 180^{\circ} \mathrm{C}. Determine o comprimento de tubo necessário para que na saída os gases sejam liberados com temperatura de 250^{\circ} \mathrm{C}.
Propriedades do ar: \rho=0,5664 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; c_{p}=1056 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) ; v=5,475 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=0,6937 \mathrm{e} k=0,04721 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (usei exatamente os valores do enunciado):
  • Temperatura de entrada dos gases: T_{i}=450^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura da parede do tubo (constante): T_{w}=180^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada: T_{o}=250^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diâmetro interno do tubo: D=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média dos gases no tubo: U=3{,}6\\ \mathrm{m/s}.
  • Propriedades do ar (fornecidas; vou usá‑las como constantes ao longo do tubo):
    • Densidade: \rho=0{,}5664\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Calor específico à pressão constante: c_{p}=1056\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Viscosidade cinemática: \nu=5{,}475\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=0{,}6937.
    • Condutividade térmica: k=0{,}04721\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O que é pedido:
  • Determinar o comprimento do tubo L necessário para que a temperatura média do gás caia de 450^{\circ}\mathrm{C} para 250^{\circ}\mathrm{C} com a parede a 180^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Idea física e equação que vamos usar (resumo didático): os gases escoam pelo tubo e perdem calor pela convecção para a parede a temperatura constante. Para escoamento interno, quando a temperatura média do fluido varia ao longo do comprimento, a equação de balanço de energia por comprimento leva a uma equação diferencial linear cuja solução é exponencial. Vou derivar essa equação passo a passo.
Considere um elemento de tubo de comprimento \mathrm{d}x. A vazão mássica é
\dot{m}=\rho A U,
onde A é a área da seção transversal do tubo. A perda de energia por unidade de comprimento (potência por metro) é a taxa de calor convectivo pela superfície lateral:
\dot{q}' = h P \bigl(T_m(x)-T_w\bigr),
onde:
  • h é o coeficiente convectivo (ainda a ser calculado),
  • P é o perímetro interno do tubo,
  • T_m(x) é a temperatura média do gás no ponto x.
Balanço de energia no elemento (variação de energia do fluido = - calor perdido pela parede):
\dot{m} c_p \,\mathrm{d}T_m = -\dot{q}' \,\mathrm{d}x = -h P \bigl(T_m-T_w\bigr)\,\mathrm{d}x.
Dividindo por \mathrm{d}x e reorganizando, obtemos a ODE:
\frac{\mathrm{d}T_m}{\mathrm{d}x} = -\frac{h P}{\dot{m} c_p}\bigl(T_m-T_w\bigr).
Esta é uma ODE linear de coeficiente constante; sua solução com a condição T_m(0)=T_i é
T_m(x)=T_w + \bigl(T_i-T_w\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{h P}{\dot{m} c_p}\,x\Bigr).
Portanto o comprimento necessário para reduzir T_m de T_i para T_o é
L = -\frac{\dot{m} c_p}{h P}\ln\!\biggl(\frac{T_o-T_w}{T_i-T_w}\biggr).
Nos próximos passos vamos calcular h, \dot{m} e a razão logarítmica para obter L.

Passo 3

Cálculo dos termos geométricos e da vazão mássica:
  • Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}15)^{2}}{4}.
Calculemos numericamente:
A=\pi\cdot0{,}005625\approx0{,}01767\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro interno:
P=\pi D=\pi\cdot0{,}15\approx0{,}47124\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho A U=0{,}5664\cdot0{,}01767\cdot3{,}6.
Calculemos:
\dot{m}\approx0{,}03605\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Determinar o coeficiente convectivo h. Primeiro avaliamos o regime de escoamento via número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu}=\frac{3{,}6\cdot0{,}15}{5{,}475\times10^{-5}}.
Cálculo:
\mathrm{Re}\approx\frac{0{,}54}{5{,}475\times10^{-5}}\approx9{,}87\times10^{4}.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento. Para escoamento interno turbulento e superfície de parede com temperatura constante é comum usar a correlação de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde \mathrm{Nu}=hD/k é o número de Nusselt e o expoente n vale 0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido pela parede (parede mais quente que fluido) e 0{,}3 quando o fluido está sendo resfriado pela parede (parede mais fria que fluido). No nosso caso o gás está mais quente que a parede (o fluido é resfriado), logo usamos n=0{,}3.
Agora calculemos \mathrm{Nu}:
\mathrm{Re}^{0{,}8}\approx\bigl(9{,}87\times10^{4}\bigr)^{0{,}8}\approx9{,}88\times10^{3},
\mathrm{Pr}^{0{,}3}\approx(0{,}6937)^{0{,}3}\approx0{,}896.
Então
\mathrm{Nu}=0{,}023\cdot 9{,}88\times10^{3}\cdot0{,}896\approx203{,}6.
Finalmente, o coeficiente h é
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{203{,}6\cdot0{,}04721}{0{,}15}.
Cálculo:
h\approx64{,}07\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 5

Agora calcule o coeficiente exponencial da solução e o comprimento L.
O coeficiente \alpha que aparece na exponencial é
\alpha=\frac{h P}{\dot{m} c_p}.
Substituindo os valores calculados:
\alpha=\frac{64{,}07\cdot0{,}47124}{0{,}03605\cdot1056}.
Calculemos numericamente:
\text{numerador}=64{,}07\cdot0{,}47124\approx30{,}20,
\text{denominador}=0{,}03605\cdot1056\approx38{,}07,
\alpha\approx\frac{30{,}20}{38{,}07}\approx0{,}7936\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora a relação para o comprimento L é
L=-\frac{1}{\alpha}\ln\!\biggl(\frac{T_o-T_w}{T_i-T_w}\biggr).
Calculemos a razão dentro do logaritmo:
\frac{T_o-T_w}{T_i-T_w}=\frac{250-180}{450-180}=\frac{70}{270}\approx0{,}25926.
O logaritmo natural dessa razão é
\ln(0{,}25926)\approx-1{,}3481.
Portanto
L=-\frac{1}{0{,}7936}\cdot(-1{,}3481)\approx\frac{1{,}3481}{0{,}7936}\approx1{,}70\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida das hipóteses e comentário prático (didático e útil para prova):
  • Usei correlação de Dittus–Boelter porque \mathrm{Re}\approx9{,}9\times10^{4} (turbulento) e não há informações de entrada/saída de calor adicionais; é uma correlação empírica padrão para tubos lisos em escoamento turbulento.
  • Usei n=0{,}3 porque o fluido foi resfriado pela parede (fluido mais quente que a parede).
  • Considerei propriedades constantes ao longo do tubo (valores fornecidos). Em provas é comum usar propriedades avaliadas à temperatura média (por exemplo (T_i+T_w)/2), e os valores foram fornecidos — por isso usei-os diretamente.
  • A solução exponencial é a forma padrão para casos com parede a temperatura constante e coeficiente h aproximadamente constante ao longo do tubo.

Resposta

L\approx1{,}70\\ \mathrm{m}

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