Questão 9 - Gases quentes saindo à
de um motor a Diesel, entram em um tubo de 15 centímetros de diâmetro com velocidade média de
. A superfície do tubo encontra-se à
. Determine o comprimento de tubo necessário para que na saída os gases sejam liberados com temperatura de
.
Propriedades do ar:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (usei exatamente os valores do enunciado):
- Temperatura de entrada dos gases:
. - Temperatura da parede do tubo (constante):
. - Temperatura de saída desejada:
. - Diâmetro interno do tubo:
. - Velocidade média dos gases no tubo:
. - Propriedades do ar (fornecidas; vou usá‑las como constantes ao longo do tubo):
- Densidade:
. - Calor específico à pressão constante:
. - Viscosidade cinemática:
. - Número de Prandtl:
. - Condutividade térmica:
.
- Densidade:
O que é pedido:
- Determinar o comprimento do tubo
necessário para que a temperatura média do gás caia de para com a parede a .
Passo 2
Idea física e equação que vamos usar (resumo didático): os gases escoam pelo tubo e perdem calor pela convecção para a parede a temperatura constante. Para escoamento interno, quando a temperatura média do fluido varia ao longo do comprimento, a equação de balanço de energia por comprimento leva a uma equação diferencial linear cuja solução é exponencial. Vou derivar essa equação passo a passo.
Considere um elemento de tubo de comprimento
. A vazão mássica é
onde
é a área da seção transversal do tubo. A perda de energia por unidade de comprimento (potência por metro) é a taxa de calor convectivo pela superfície lateral:
onde:
-
é o coeficiente convectivo (ainda a ser calculado), -
é o perímetro interno do tubo, -
é a temperatura média do gás no ponto .
Balanço de energia no elemento (variação de energia do fluido = - calor perdido pela parede):
Dividindo por
e reorganizando, obtemos a ODE:
Esta é uma ODE linear de coeficiente constante; sua solução com a condição
é
Portanto o comprimento necessário para reduzir
de
para
é
Nos próximos passos vamos calcular
,
e a razão logarítmica para obter
.
Passo 3
Cálculo dos termos geométricos e da vazão mássica:
- Área da seção transversal:
Calculemos numericamente:
- Perímetro interno:
- Vazão mássica:
Calculemos:
Passo 4
Determinar o coeficiente convectivo
. Primeiro avaliamos o regime de escoamento via número de Reynolds:
Cálculo:
Como
, o escoamento é turbulento. Para escoamento interno turbulento e superfície de parede com temperatura constante é comum usar a correlação de Dittus–Boelter:
onde
é o número de Nusselt e o expoente
vale
quando o fluido está sendo aquecido pela parede (parede mais quente que fluido) e
quando o fluido está sendo resfriado pela parede (parede mais fria que fluido). No nosso caso o gás está mais quente que a parede (o fluido é resfriado), logo usamos
.
Agora calculemos
:
Então
Finalmente, o coeficiente
é
Cálculo:
Passo 5
Agora calcule o coeficiente exponencial da solução e o comprimento
.
O coeficiente
que aparece na exponencial é
Substituindo os valores calculados:
Calculemos numericamente:
Agora a relação para o comprimento
é
Calculemos a razão dentro do logaritmo:
O logaritmo natural dessa razão é
Portanto
Passo 6
Verificação rápida das hipóteses e comentário prático (didático e útil para prova):
- Usei correlação de Dittus–Boelter porque
(turbulento) e não há informações de entrada/saída de calor adicionais; é uma correlação empírica padrão para tubos lisos em escoamento turbulento. - Usei
porque o fluido foi resfriado pela parede (fluido mais quente que a parede). - Considerei propriedades constantes ao longo do tubo (valores fornecidos). Em provas é comum usar propriedades avaliadas à temperatura média (por exemplo
), e os valores foram fornecidos — por isso usei-os diretamente. - A solução exponencial é a forma padrão para casos com parede a temperatura constante e coeficiente
aproximadamente constante ao longo do tubo.