( Cancelado)Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas. 70 \% das lâmpadas são produzidas pelo método A e as demais pelo método B. A duração da lâmpada depende do método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo
método A seguem uma distribuição exponencial com média de 80 e as do método B seguem uma exponencial com média 100hs. Qual a probabilidade de que, se escolhermos uma lâmpada ao acaso, ela dure mais de 100 horas? Resp:0,31

Passo 1

O enunciado descreve um experimento misto: escolhemos uma lâmpada que vem do método A com probabilidade 0,7 e do método B com probabilidade 0,3. As durações seguem distribuições exponenciais com médias \theta_A=80 h e \theta_B=100 h. Queremos
\Pr(T>100), onde T é a duração da lâmpada.

Passo 2

Pela lei da probabilidade total,
\Pr(T>100)=\Pr(A)\,\Pr(T>100\mid A)+\Pr(B)\,\Pr(T>100\mid B).

Passo 3

Para uma variável exponencial com média \theta, a taxa é \lambda=1/\theta e
\Pr(X>t)=e^{-\lambda t}=e^{-t/\theta}.
Logo,
\Pr(T>100\mid A)=e^{-100/80}, \quad \Pr(T>100\mid B)=e^{-100/100}.

Passo 4

Agora aproximamos os exponenciais:
e^{-100/80}=e^{-1{,}25}\approx0{,}2865, \quad e^{-100/100}=e^{-1}\approx0{,}3679.

Passo 5

Substituindo em \Pr(T>100):
\Pr(T>100)=0{,}7\cdot0{,}2865+0{,}3\cdot0{,}3679 \approx0{,}2006+0{,}1104=0{,}3110\approx0{,}31.

Resposta

0,31

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