Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) 'e uma v.a. X com f.d.p.
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} 0 & \text { se } & x<0 \\\ \frac{1}{10} x+\frac{1}{10} & \text { se } & 0 \leq x \leq 2 \\\\ -\frac{3}{40} x+\frac{9}{20} & \text { se } & 2<x \leq 6 \\\\ 0 & \text { se } & x>6 \end{array}\right.
Qual a mediana da variável? Resp:2,35

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de X (renda em milhares de reais) por partes e pede a mediana, isto é, o valor m que satisfaz
P(X \le m)=0{,}5.
Para isso vamos (1) calcular a função de distribuição F(x) por partes e (2) resolver F(m)=0{,}5.

Passo 2

Primeiro, para 0\le x\le2 temos
F(x)=\int_{0}^{x}\Bigl(\frac{1}{10}t+\frac{1}{10}\Bigr)\,dt =\Bigl[\frac{t^{2}}{20}+\frac{t}{10}\Bigr]_{0}^{x} =\frac{x^{2}}{20}+\frac{x}{10}.
Em particular,
F(2)=\frac{2^{2}}{20}+\frac{2}{10}=0{,}2+0{,}2=0{,}4.

Passo 3

Para 2<x\le6 escrevemos
F(x)=F(2)+\int_{2}^{x}\Bigl(-\frac{3}{40}t+\frac{9}{20}\Bigr)\,dt =0{,}4+\Bigl[-\frac{3t^{2}}{80}+\frac{9t}{20}\Bigr]_{2}^{x}.
O valor da primitiva em t=2 é
-\frac{3\cdot2^{2}}{80}+\frac{9\cdot2}{20} =-\frac{12}{80}+ \frac{18}{20} =-0{,}15+0{,}9=0{,}75,
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F(x) =0{,}4+\Bigl(-\frac{3x^{2}}{80}+\frac{9x}{20}-0{,}75\Bigr) =-0{,}35+\frac{36x-3x^{2}}{80}.

Passo 4

Agora impomos F(m)=0{,}5 no ramo 2<m\le6:
-0{,}35+\frac{36m-3m^{2}}{80}=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{36m-3m^{2}}{80}=0{,}85
\Longrightarrow\quad -3m^{2}+36m-68=0 \quad\Longrightarrow\quad 3m^{2}-36m+68=0.
Resolvendo a equação quadrática:
m=\frac{36\pm\sqrt{36^{2}-4\cdot3\cdot68}}{2\cdot3} =\frac{36\pm4\sqrt{30}}{6} =\frac{18\pm2\sqrt{30}}{3}.
Como a solução deve ficar em (2,6], escolhemos
m=\frac{18-2\sqrt{30}}{3}\approx2{,}35.

Resposta

m=\frac{18-2\sqrt{30}}{3}\approx2{,}35.

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