A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p.
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} 0 & \text { se } & x<0 \\\\ 2 x / 3 & \text { se } & 0 \leq x<1 \\\\ -x / 3+1 & \text { se } & 1 \leq x<3 \\\\ 0 & \text { se } & x>3 \end{array}\right.
(a) Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg , num dia escolhido ao acaso? Resp: =0,375
(b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender? Resp: 40
(c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95 \% dos dias? Resp: aproximadamente 245 kg

Passo 1

O enunciado nos dá a variável aleatória contínua X\) que representa a demanda diária de arroz, em centenas de quilos, com densidade de probabilidade \[f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \frac{2x}{3}, & 0\le x<1,\\\\ -\frac{x}{3}+1, & 1\le x<3,\\\\ 0, & x>3. \end{cases}
Pede-se:
– (a) \Pr(X>1{,}5)\], pois \(150 kg =1{,}5 centenas de quilo.
– (b) o total esperado em 30 dias, ou seja, 30\,\mathbb{E}[X].
– (c) o valor x_{0} tal que \Pr(X\le x_{0})=0{,}95 (quantil de ordem 0{,}95).

Passo 2

Para (a), calculamos
\Pr(X > 1,5) = \int_{1,5}^{3} \Bigl(-\frac{x}{3} + 1\Bigr) \, dx.
Em exibição:
\int_{1,5}^{3} \Bigl(-\frac{x}{3} + 1\Bigr) dx = \Bigl[-\frac{x^{2}}{6} + x\Bigr]_{1,5}^{3} = \bigl(-\tfrac{9}{6} + 3\bigr) - \bigl(-\tfrac{2,25}{6} + 1,5\bigr) = 1,5 - 1,125 = 0,375.

Passo 3

Para (b), achamos \mathbb{E}[X] por partes:
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{1}x\cdot\frac{2x}{3}\,dx +\int_{1}^{3}x\Bigl(-\frac{x}{3}+1\Bigr)\,dx.
Calculemos cada termo:
\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{3}dx =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} =\frac{2}{9}\approx0{,}2222,
\int_{1}^{3}\Bigl(-\frac{x^{2}}{3}+x\Bigr)dx =\Bigl[-\tfrac{x^{3}}{9}+\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{3} =( -3+4{,}5 )-(-\tfrac{1}{9}+0{,}5) =1{,}5-0{,}3889 =1{,}1111.
Logo
\mathbb{E}[X]=\frac{2}{9}+1{,}1111=1{,}3333\quad(\text{centenas de quilo por dia}).
Em 30 dias:
30\cdot1{,}3333=40\quad(\text{centenas de quilo}).

Passo 4

Para (c), primeiro obtemos a função de distribuição F(x).
Se 0\le x<1,
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{2t}{3}dt=\frac{x^{2}}{3}.
Em particular F(1)=\tfrac{1}{3}. Para 1\le x<3,
F(x) =F(1)+\int_{1}^{x}\Bigl(-\frac{t}{3}+1\Bigr)dt =\frac{1}{3}+\Bigl[-\frac{t^{2}}{6}+t\Bigr]_{1}^{x} =-\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{1}{2}.
Queremos F(x_{0})=0{,}95. Assim
-\frac{x_{0}^{2}}{6}+x_{0}-\frac{1}{2}=0{,}95 \;\Longrightarrow\; x_{0}^{2}-6x_{0}+8{,}7=0.
As raízes são
x_{0}=\frac{6\pm\sqrt{36-34{,}8}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{1{,}2}}{2},
e tomamos a que fica em [1,3]:
x_{0}\approx\frac{6-1{,}0954}{2}=2{,}4523
centenas de quilo, ou seja, cerca de 245{,}23 kg.

Resposta

(a) 0,375
(b) 40
(c) aproximadamente 245 kg

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