8- Candida utilis cresce em glicerol com velocidade específica de crescimento máxima de 0,095 \mathrm{~h}^{-1}. Qual o tempo necessário para esse microrganismo duplicar a sua massa na fase exponencial de crescimento de um processo batelada.

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o tempo necessário para o microrganismo duplicar a sua massa na fase exponencial de crescimento de um processo batelada.”
Informações dadas: a velocidade específica máxima de crescimento é \mu_{\max} = 0{,}095\\ \mathrm{h}^{-1}.
Queremos o tempo de duplicação (doubling time) durante a fase exponencial, ou seja, o tempo que leva para a biomassa ficar duas vezes maior.

Passo 2

Modelo de crescimento exponencial (o fundamento que vamos usar).
Quando uma população (ou biomassa) cresce exponencialmente com taxa específica \mu, a variação instantânea da biomassa X(t) satisfaz a equação diferencial
\frac{dX}{dt}=\mu X.
Explicando cada símbolo: \;X(t) é a biomassa no tempo t, \mu é a velocidade específica de crescimento (unidade: \mathrm{h}^{-1}), e \frac{dX}{dt} é a taxa de variação da biomassa por unidade de tempo.
Resolvendo essa equação por separação de variáveis:
\frac{dX}{X}=\mu\,dt.
Integramos dos instantes 0 a t (e de X(0)=X_0 até X(t)):
\int_{X_0}^{X(t)}\frac{dX}{X}=\int_{0}^{t}\mu\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigl(X(t)\bigr)-\ln\!\bigl(X_0\bigr)=\mu t.
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma usual da solução:
X(t)=X_0 e^{\mu t}.
Aqui e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828\ldots).

Passo 3

Definição do tempo de duplicação (t_d): é o tempo tal que X(t_d)=2X_0. Substituindo na expressão do crescimento exponencial:
2X_0 = X_0 e^{\mu t_d}.
Cancelamos X_0 (assumindo X_0>0) e ficamos com
2 = e^{\mu t_d}.
Para isolar t_d aplicamos o logaritmo natural \ln:
\ln 2 = \mu t_d \quad\Rightarrow\quad t_d = \frac{\ln 2}{\mu}.
Comentário didático: \ln 2 é o logaritmo natural de 2, que mede quantas “unidades de crescimento exponencial” são necessárias para dobrar. A fórmula mostra que quanto maior \mu, menor o tempo de duplicação — faz sentido: crescer mais rápido = duplicar mais rápido.

Passo 4

Agora plugamos o valor numérico de \mu. Usamos \mu=\mu_{\max}=0{,}095\\ \mathrm{h}^{-1} e \ln 2 \approx 0{,}693147. Então
t_d = \frac{\ln 2}{\mu} = \frac{0{,}693147}{0{,}095}\\ \mathrm{h}.
Fazendo a divisão:
t_d \approx 7{,}292074\\ \mathrm{h}.
Para apresentar de forma mais prática, convertemos a parte fracionária de horas em minutos e segundos: 0{,}292074\\ \mathrm{h}\times 60 \approx 17{,}524\\ \mathrm{min}. A parte fracionária dos minutos dá 0{,}524\\ \mathrm{min}\times 60 \approx 31{,}5\\ \mathrm{s}. Logo, aproximadamente 7\\ \mathrm{h}\\\ 17\\ \mathrm{min}\\\ 31\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma razoável: t_d \approx 7{,}29\\ \mathrm{h} (ou \approx 7\\ \mathrm{h}\\\ 17\\ \mathrm{min}).

Resposta

t_d \approx 7{,}29\\ \mathrm{h} \approx 7\\ \mathrm{h}\\\ 17\\ \mathrm{min}\\\ 31\\ \mathrm{s}

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