8- Candida utilis cresce em glicerol com velocidade específica de crescimento máxima de
. Qual o tempo necessário para esse microrganismo duplicar a sua massa na fase exponencial de crescimento de um processo batelada.
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o tempo necessário para o microrganismo duplicar a sua massa na fase exponencial de crescimento de um processo batelada.”
Informações dadas: a velocidade específica máxima de crescimento é .
Queremos o tempo de duplicação (doubling time) durante a fase exponencial, ou seja, o tempo que leva para a biomassa ficar duas vezes maior.
Informações dadas: a velocidade específica máxima de crescimento é
Queremos o tempo de duplicação (doubling time) durante a fase exponencial, ou seja, o tempo que leva para a biomassa ficar duas vezes maior.
Passo 2
Modelo de crescimento exponencial (o fundamento que vamos usar).
Quando uma população (ou biomassa) cresce exponencialmente com taxa específica , a variação instantânea da biomassa
satisfaz a equação diferencial
Quando uma população (ou biomassa) cresce exponencialmente com taxa específica
Explicando cada símbolo:
é a biomassa no tempo
,
é a velocidade específica de crescimento (unidade:
), e
é a taxa de variação da biomassa por unidade de tempo.
Resolvendo essa equação por separação de variáveis:
Resolvendo essa equação por separação de variáveis:
Integramos dos instantes
a
(e de
até
):
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma usual da solução:
Aqui
é a base dos logaritmos naturais (aprox.
).
Passo 3
Definição do tempo de duplicação
: é o tempo tal que
. Substituindo na expressão do crescimento exponencial:
Cancelamos
(assumindo
) e ficamos com
Para isolar
aplicamos o logaritmo natural
:
Comentário didático:
é o logaritmo natural de
, que mede quantas “unidades de crescimento exponencial” são necessárias para dobrar. A fórmula mostra que quanto maior
, menor o tempo de duplicação — faz sentido: crescer mais rápido = duplicar mais rápido.
Passo 4
Agora plugamos o valor numérico de
. Usamos
e
. Então
Fazendo a divisão:
Para apresentar de forma mais prática, convertemos a parte fracionária de horas em minutos e segundos:
. A parte fracionária dos minutos dá
. Logo, aproximadamente
.
Arredondando de forma razoável: (ou
).
Arredondando de forma razoável: