Uma cultura aeróbica de bactérias em metanol apresentou os seguintes resultados para um processo em batelada:
Tempo (h) 0 2 4 8 10 12 14 16 18
\mathbf{X}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 0,200 0,211 0,305 0,980 1,770 3,200 5,600 6,150 6,200
\mathbf{S}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 9,230 9,210 9,070 8,030 6,800 4,600 0,920 0,077 0
Calcule:
A velocidade específica de crescimento máxima;

Passo 1

O enunciado fornece uma cultura em batelada com os seguintes dados (peguei os dados da tabela do enunciado):
Tempo (h): 0,\;2,\;4,\;8,\;10,\;12,\;14,\;16,\;18
Concentração de biomassa X (g/L): 0{,}200,\;0{,}211,\;0{,}305,\;0{,}980,\;1{,}770,\;3{,}200,\;5{,}600,\;6{,}150,\;6{,}200
Concentração de substrato S (g/L): 9{,}230,\;9{,}210,\;9{,}070,\;8{,}030,\;6{,}800,\;4{,}600,\;0{,}920,\;0{,}077,\;0
O que o problema pede: Calcular a velocidade específica de crescimento máxima.

Passo 2

O que é a velocidade específica de crescimento e como calculamos na prática.
  • A velocidade específica de crescimento instantânea é definida por
\mu(t)=\frac{1}{X}\frac{dX}{dt},
onde \mu tem unidades de \mathrm{h}^{-1}, X é a concentração de biomassa (g/L) e t o tempo (h).
  • Na fase exponencial de crescimento, \mu é (aproximadamente) constante e a solução é X(t)=X_0 e^{\mu t}. Assim, graficamente, \ln X vs. t é uma reta de inclinação \mu.
  • Com dados discretos (como aqui), usamos a aproximação por diferença finita entre dois tempos t_i e t_j:
\mu \approx \frac{\ln X_j - \ln X_i}{t_j-t_i}.
Aqui X_i e X_j são as concentrações de biomassa nos tempos t_i e t_j. Essa fórmula dá a taxa média no intervalo [t_i,t_j]. A taxa máxima observada entre intervalos sucessivos será uma boa estimativa de \mu_{\max}.

Passo 3

Escolher os intervalos para calcular \mu.
  • Observando os dados de X, há um período de crescimento acelerado entre cerca de 4 h e 14 h (de X=0{,}305 para X=5{,}600). Após 14 h o substrato está quase esgotado ( S=0{,}920 em 14 h e S=0{,}077 em 16 h), e o crescimento desacelera/plateau. Logo, os intervalos entre medidas sucessivas são adequados para estimar \mu, em especial os intervalos dentro de 4 14 h.

Passo 4

Calcular \mu em cada intervalo sucessivo usando
\mu_{i\to j}=\frac{\ln\bigl(\dfrac{X_j}{X_i}\bigr)}{t_j-t_i}.
Vou calcular para cada par de tempos consecutivos:
  1. 0\to2 h:
\mu_{0\to2}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}211}{0{,}200}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}055)}{2}\approx\frac{0{,}0536}{2}=0{,}0268\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 2\to4 h:
\mu_{2\to4}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}305}{0{,}211}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}4455)}{2}\approx\frac{0{,}3682}{2}=0{,}1841\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 4\to8 h:
\mu_{4\to8}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}980}{0{,}305}\right)}{4}=\frac{\ln(3{,}2131)}{4}\approx\frac{1{,}1680}{4}=0{,}2920\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 8\to10 h:
\mu_{8\to10}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{1{,}770}{0{,}980}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}8061)}{2}\approx\frac{0{,}5919}{2}=0{,}2960\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 10\to12 h:
\mu_{10\to12}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{3{,}200}{1{,}770}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}8085)}{2}\approx\frac{0{,}5930}{2}=0{,}2965\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 12\to14 h:
\mu_{12\to14}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{5{,}600}{3{,}200}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}75)}{2}\approx\frac{0{,}5596}{2}=0{,}2798\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 14\to16 h:
\mu_{14\to16}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{6{,}150}{5{,}600}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}0982)}{2}\approx\frac{0{,}0939}{2}=0{,}0470\\ \mathrm{h}^{-1}.
  1. 16\to18 h:
\mu_{16\to18}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{6{,}200}{6{,}150}\right)}{2}=\frac{\ln(1{,}00813)}{2}\approx\frac{0{,}00810}{2}=0{,}00405\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 5

Identificar a velocidade específica máxima observada.
  • Das taxas calculadas, os maiores valores aparecem nos intervalos 8\to10 h e 10\to12 h, com \mu\approx 0{,}2960\\ \mathrm{h}^{-1} e \mu\approx 0{,}2965\\ \mathrm{h}^{-1}. O maior valor é
    \mu_{10\to12}\approx 0{,}2965\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Portanto, uma boa estimativa para a velocidade específica de crescimento máxima é \mu_{\max}\approx 0{,}297\\ \mathrm{h}^{-1}. (A diferença entre os dois maiores intervalos é pequena; escolhemos o maior valor numérico.)

Resposta

0{,}297\\ \mathrm{h}^{-1}

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