Um canhāo de 1400 kg . que dispara balas com 70 kg a uma velocidade de disparo de 556 m / s; Є configurado para um ângulo de elevação 39^circ acima da horizontal. O canhāo é montado sobre trilhos sem atrito, dé modo que ele recue livremente. (a) Qual é a intensidade da velocidade da bala com relação à Terra. (b) Sob qual ângulo com o solo a bala é projetada? (Dica: A componente hórizontai da quantidade de movimento do sistema permanéce inalterada conforme - canhāo é disparado.)

Passo 1

Então, o enunciado diz que um canhão de massa ,kg dispara uma bala de massa ,kg com velocidade relativa ao canhão de ,m/s a um ângulo de acima da horizontal. O canhão fica sobre trilhos sem atrito, ou seja, pode recuar livremente.
Conteúdo: conservação de quantidade de movimento (momento linear) na direção horizontal e soma vetorial de velocidades.
O que vamos precisar:
  • Entender que, como não há forças horizontais externas, o momento horizontal antes e depois do disparo se conserva.
  • Usar essa conservação para achar a velocidade de recuo do canhão.
  • Fazer soma vetorial para obter a velocidade da bala em relação à Terra e daí extrair módulo e ângulo.

Passo 2

Conservação do momento na horizontal:
Antes do disparo, tudo está parado M,Vrm canhão+m,Vrm bala/terra,x=0.
Depois, o conjunto canhão + bala tem momento zero também:
0=M,Vrm canhão+m,(ucos39^circ)ã
Note que Vrm canhão=-m,ucos39^circMã, porque a bala sai do canhão já levando a velocidade de recuo dele.
Mas é mais direto primeiro achar ã isoladamente usando:
ã
Logo,
ã

Passo 3

Vamos numerar e calcular:
  1. ucos39^circapprox556times0.7771=432,0;m/s.
    Vrm canhão=-70times432,01400=-302401400=-21,6;m/s, logo Vrm bala/terra,x=ucos39^circ+Vrm canhão =432,0+(-21,6)=410,4;m/s
  2. Então Vrm bala/terra,y=usin39^circ, sin39^circapprox0.6293,ã(sinal “–” porque o canhão vai para trás.)
  3. Agora a componente horizontal da bala em relação à Terra é: Vrm bala/terra,y=556times0.6293=350,0;m/sã
  4. A componente vertical não muda, pois não houve recuo vertical:

Passo 4

Agora, a partir das componentes horizontais e verticais, calculamos módulo e ângulo:
  1. Módulo da velocidade: |V|=raizVx^2+Vy^2 =raiz(410,4)^2+(350,0)^2 approx539,3;m/s
  2. Ângulo acima do solo: theta=arctan!gl(VyVxgr) =arctan!l(tfrac350410,4r) approx40,4^circ

Resposta

(a) ,m/s
(b)

Exercícios relacionados