Questão 2 [Total: 3,5 pt ] Uma casca esférica não condutora de raio interno a1 e raio externo b1 é uniformemente carregada com densidade de carga rho1 dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno a2 e raio externo 2 que também é uniformemente carregada com densidade de carga rho2. Encontre o campo elétrico no ponto P a uma distância r do centro comum tal que
b1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cascas esféricas não condutoras:
  1. A primeira casca tem raio interno $ a_1 $ e raio externo $ b_1 $, com densidade de carga $ \rho_1 $.
  2. A segunda casca está dentro da primeira, com raio interno $ a_2 $ e raio externo $ b_2 $, e densidade de carga $ \rho_2 $.
Queremos encontrar o campo elétrico no ponto $ P $ que está a uma distância $ r $ do centro comum das cascas, onde $ b_1 < r < a_2 $. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria. A Lei de Gauss diz:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Onde:
  • $ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} $ é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada.
  • $ Q_{dentro} $ é a carga total dentro dessa superfície.
  • $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Vamos aplicar essa lei a uma esfera gaussiana de raio $ r $, que é simétrica e concêntrica com as cascas, para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual carga está dentro da nossa superfície gaussiana de raio $ r $.
  • A primeira casca tem carga distribuída entre $ a_1 $ e $ b_1 $. Como $ r > b_1 $, toda a carga dessa casca está dentro da nossa superfície gaussiana.
  • A segunda casca está entre $ a_2 $ e $ b_2 $. Mas como $ r < a_2 $, nenhuma carga desta segunda casca está dentro da nossa superfície gaussiana.
Portanto, a única carga que contribui para o campo elétrico em $ r $ é a da primeira casca.

Passo 4

Vamos calcular a carga total $ Q $ da primeira casca. Como a densidade de carga é $ \rho_1 $ e a casca está distribuída entre $ a_1 $ e $ b_1 $, a carga total é:
Q
O volume de uma casca esférica é:
rho1
Então:
a1

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, sabemos que:
oint E cdot dA = E times 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Resolvendo para $ E $:
E
Substituindo $ Q $ da etapa anterior:
E = Q4pi varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por:
P

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