Questão 2 [Total:
] Uma casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
é uniformemente carregada com densidade de carga
dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
que também é uniformemente carregada com densidade de carga
. Encontre o campo elétrico no ponto
a uma distância
do centro comum tal que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cascas esféricas não condutoras:
- A primeira casca tem raio interno $ a_1 $ e raio externo $ b_1 $, com densidade de carga $ \rho_1 $.
- A segunda casca está dentro da primeira, com raio interno $ a_2 $ e raio externo $ b_2 $, e densidade de carga $ \rho_2 $.
Queremos encontrar o campo elétrico no ponto $ P $ que está a uma distância $ r $ do centro comum das cascas, onde $ b_1 < r < a_2 $. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria. A Lei de Gauss diz:
Onde:
- $ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} $ é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada.
- $ Q_{dentro} $ é a carga total dentro dessa superfície.
- $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Vamos aplicar essa lei a uma esfera gaussiana de raio $ r $, que é simétrica e concêntrica com as cascas, para facilitar os cálculos.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual carga está dentro da nossa superfície gaussiana de raio $ r $.
- A primeira casca tem carga distribuída entre $ a_1 $ e $ b_1 $. Como $ r > b_1 $, toda a carga dessa casca está dentro da nossa superfície gaussiana.
- A segunda casca está entre $ a_2 $ e $ b_2 $. Mas como $ r < a_2 $, nenhuma carga desta segunda casca está dentro da nossa superfície gaussiana.
Portanto, a única carga que contribui para o campo elétrico em $ r $ é a da primeira casca.
Passo 4
Vamos calcular a carga total $ Q $ da primeira casca. Como a densidade de carga é $ \rho_1 $ e a casca está distribuída entre $ a_1 $ e $ b_1 $, a carga total é:
O volume de uma casca esférica é:
Então:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, sabemos que:
Resolvendo para $ E $:
Substituindo $ Q $ da etapa anterior:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: